关于寻找Lipschitz常数及相关不等式证明的求助

我来帮你搞定这两个不等式的证明问题，咱们一步一步拆解分析：

第一部分：证明$|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|\leq K|x-y|$ #

你已经把式子化简到了关键步骤：
$$|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|=\frac{1}{2}|x-y|+\left|\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y2}\right|$$

核心难点是处理$\left|\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y2}\right|$，这里用有理化分子的技巧就能轻松突破：
$$
\begin{align*}
\left|\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y2}\right|&=\frac{\left|(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y2})(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y2})\right|}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y2}}\
&=\frac{\left|(1+x^2)-(1+y2)\right|}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y2}}\
&=\frac{\left|x^2-y2\right|}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y2}}\
&=\frac{|x-y|\cdot|x+y|}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y2}}
\end{align*}
$$

接下来做放缩推导：

• 因为$\sqrt{1+x^{2}\geq|x|$，$\sqrt{1+y}2}\geq|y|$，所以分母$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y2}\geq|x|+|y|$
• 根据三角不等式，$|x+y|\leq|x|+|y|$，因此$\frac{|x+y|}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y2}}\leq\frac{|x|+|y|}{|x|+|y|}=1$

把这个结论代回去，就能得到：
$$\left|\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y2}\right|\leq|x-y|\cdot1=|x-y|$$

再把结果代入原式：
$$\frac{1}{2}|x-y|+\left|\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y2}\right|\leq\frac{1}{2}|x-y|+|x-y|=\frac{3}{2}|x-y|$$

所以取$K=\frac{3}{2}$，第一个不等式就成立了。

第二部分：证明$|f(x)|+|g(x)|\leq K(1+|x|)$ #

你已经推导出了中间结果：
$$|f(x)|+|g(x)|=\frac{1}{2}|x|+\sqrt{1+x^2}\leq\frac{1}{2}|x|+1+|x|=1+\frac{3}{2}|x|$$

现在只需要把右边的式子整理成$K(1+|x|)$的形式：
$$1+\frac{3}{2}|x|=\frac{3}{2}(1+|x|)-\frac{3}{2}+1=\frac{3}{2}(1+|x|)-\frac{1}{2}$$

因为$-\frac{1}{2}\leq0$，所以：
$$1+\frac{3}{2}|x|\leq\frac{3}{2}(1+|x|)$$

同样取$K=\frac{3}{2}$，第二个不等式也完美成立。

这样两个不等式就都用同一个$K=\frac{3}{2}$证明完成啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user123234