剩余子群、条件期望与中心序列相关证明问询

各位大佬好，我目前在研究冯诺依曼代数与群论交叉的问题，遇到了一个证明上的瓶颈，先把相关的前置定义、待证命题以及我已经完成的推导整理出来，恳请大家指点一二：

前置定义与背景 #

首先统一符号与基础概念：

• ICC群：全程假设$G$是具有无限共轭类（ICC）性质的群，即$G$中任意非平凡元素的共轭类都是无限集。
• 剩余子群：$G$的子群$H$称为剩余子群，若存在子集$S \subseteq G \setminus H$以及元素$g_1, g_2 \in G$，满足：
  1. $G \setminus H = S \cup g_1^{-1} S g_1$；
  2. $S$、$g_2^{-1} S g_2$、$g_2 S g_2^{-1}$是$G \setminus H$中的两两不交子集。
• 群冯诺依曼代数：给定群$G$，记$L(G)$为其群冯诺依曼代数，由左正则表示$\lambda: G \to U(\ell^2(G))$生成。由于$\delta_e$是$L(G)$的循环分离向量，映射$x \mapsto x \delta_e$是具有稠密值域的线性等距。特别地，对任意$x \in L(G)$，可将其表示为傅里叶展开：$x = \sum_{g \in G} x_g \lambda_g$，其中系数$x_g \in \mathbb{C}$满足$\sum_{g \in G} |x_g|^2 < \infty$，$\lambda_g$是左正则诱导的酉元。
• 迹与条件期望：$L(G)$上存在唯一迹$\tau: L(G) \to \mathbb{C}$，定义为$\tau(x) = \langle x \delta_e, \delta_e \rangle_{\ell^2(G)}$，这使得$L(G)$成为II₁型因子（因$G$是ICC群）。对$G$的子群$H \leq G$，定义从$L(G)$到$L(H)$的条件期望$E_H: L(G) \to L(H)$为：$E_H\left(\sum_{g \in G} x_g \lambda_g\right) = \sum_{g \in H} x_g \lambda_g$，这是$L(G)$到$L(H)$的唯一条件期望。
• II₁因子的中心序列：设$M$是带有唯一迹$\tau$的II₁型因子，利用$\tau$定义2-范数：$|x|2 = \sqrt{\tau(x^*x)}$。$M$中的有界2-范数序列$(x_n){n \in \mathbb{N}}$称为中心序列，若对任意$y \in M$，有$|x_n y - y x_n|_2 \to 0$（当$n \to \infty$时）。

待证命题 #

我需要证明的结论是：

若$H$是$G$的剩余子群，则$L(G)$中的任意中心序列都等价于一个元素全在$L(H)$中的中心序列。

已完成推导与卡住的点 #

我初步猜测，对$L(G)$中的中心序列$(x_n){n \in \mathbb{N}}$，$(E_H(x_n)){n \in \mathbb{N}}$就是我们要找的目标序列，并且已经完成了部分推导：

1. 2-范数有界性：因为$E_H$是范数为1的投影，所以$(E_H(x_n))$的2-范数是有界的，这一点很容易验证。
2. 与$L(H)$中元素渐近交换：也能轻松证明$(E_H(x_n))$在2-范数下与$L(H)$中的所有元素渐近交换。

但目前卡在两个关键步骤上：

• 如何证明$(E_H(x_n))$在2-范数下与**$L(G)$中所有元素**都渐近交换？
• 如何证明$(E_H(x_n))$与原序列$(x_n)$是等价的？

希望大家能给我一些思路或者提示，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user193319