关于《热核与狄拉克算子》定理4.1中同构Φ的定义验证问询

大家好！最近研读《热核与狄拉克算子》时遇到了一个小困惑：定理4.1涉及到这样一个同构：
$$C(V)\otimes\mathrm{End}_{C(V)}(E)\to\mathrm{End}(E).$$
我把这个同构记作$\Phi$，但遗憾的是书中并没有给出$\Phi$的明确定义。我自己梳理出了两个我认为等价的定义方式，想和大家探讨一下是否正确：

• 第一种定义（直观猜想）：
  最直接的想法是定义$\Phi(a\otimes b)=c_E(a)\circ b$。虽然一开始不太确定这个映射是否可逆，但其实它的可逆性可以通过和第二种定义等价来证明。

• 第二种定义（基于旋量模同构）：
  先回顾书中命题3.27里的Clifford模同构$T\in L(S\otimes W,E)$：其中$S$是旋量模，也就是满足Clifford乘法$C(V)\to\mathrm{End}(S)$是超代数同构的Clifford模。另外书中提到$\mathrm{End}(W)$和$\mathrm{End}{C(V)}(E)$是同构的，我认为这个同构就是将$b\in\mathrm{End}(W)$映射为$T\circ(1\otimes b)\circ T^{-1}$。
  假设对于$b\in\mathrm{End}{C(V)}(E)$，我们用$b/S$表示它在$\mathrm{End}(W)$中对应的元素，那么可以定义一个显然可逆的$\Phi$：
  $$\Phi(a\otimes b)=T\circ (c_S(a)\otimes b/S)\circ T^{-1}$$

最后我来推导一下为什么这两个定义是等价的：
$$T\circ(c_S(a)\otimes b/S)\circ T^{-1}=\underbrace{T\circ(\underbrace{c_S(a)\otimes 1}{=c{S\otimes W}(a)})\circ T^{-1}}{=c_E(a)}\circ\underbrace{T\circ(1\otimes b/S)\circ T^{-1}}{=b}=c_E(a)\circ b$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Filippo