求约束条件$a^2 + b^2 + c^2 = 1$下表达式$rac{ab}{c} + rac{bc}{a} + rac{ca}{b}$最小值的非微积分方法

嘿，很高兴你在找不用微积分的解法，这个问题用经典的均值不等式就能轻松搞定，比拉格朗日乘数法简洁太多了！

步骤1：对目标表达式平方变形 #

设$S = \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b}$，我们先展开$S^2$找突破口：
$$
\begin{align*}
S^2 &= \left(\frac{ab}{c}\right)^2 + \left(\frac{bc}{a}\right)^2 + \left(\frac{ca}{b}\right)^2 + 2\left(\frac{ab}{c} \cdot \frac{bc}{a} + \frac{ab}{c} \cdot \frac{ca}{b} + \frac{bc}{a} \cdot \frac{ca}{b}\right) \
&= \frac{a^2b2}{c^2} + \frac{b^2c2}{a^2} + \frac{c^2a2}{b^2} + 2(b^2 + a^2 + c^2)
\end{align*}
$$
结合已知约束$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，上式可以简化为：
$$
S^2 = \frac{a^2b2}{c^2} + \frac{b^2c2}{a^2} + \frac{c^2a2}{b^2} + 2
$$

步骤2：用均值不等式估计平方项的和 #

对于任意正实数$x$和$y$，均值不等式告诉我们$x + y \geq 2\sqrt{xy}$。把这个结论应用到每一对平方项上：

• $\frac{a^2b2}{c^2} + \frac{b^2c2}{a^2} \geq 2\sqrt{\frac{a^2b2}{c^2} \cdot \frac{b^2c2}{a^2}} = 2b^2$
• $\frac{b^2c2}{a^2} + \frac{c^2a2}{b^2} \geq 2\sqrt{\frac{b^2c2}{a^2} \cdot \frac{c^2a2}{b^2}} = 2c^2$
• $\frac{c^2a2}{b^2} + \frac{a^2b2}{c^2} \geq 2\sqrt{\frac{c^2a2}{b^2} \cdot \frac{a^2b2}{c^2}} = 2a^2$

将这三个不等式左右两边分别相加，左边是$2\left(\frac{a^2b2}{c^2} + \frac{b^2c2}{a^2} + \frac{c^2a2}{b^{2}\right)$，右边是$2(a}2 + b^2 + c^2) = 2 \times 1 = 2$。两边同时除以2，得到：
$$
\frac{a^2b2}{c^2} + \frac{b^2c2}{a^2} + \frac{c^2a2}{b^2} \geq 1
$$

步骤3：推导S的最小值 #

把上面的结果代入$S^2$的表达式：
$$
S^2 \geq 1 + 2 = 3
$$
因为$S$是正实数（$a,b,c$均为正实数），两边开平方可得$S \geq \sqrt{3}$。

步骤4：验证等号成立条件 #

当且仅当均值不等式的等号成立时，$S$取到最小值$\sqrt{3}$。等号成立的条件是每一对项相等：

• $\frac{a^2b2}{c^2} = \frac{b^2c2}{a^2} \implies a^4 = c^4 \implies a = c$（正数条件下）
• $\frac{b^2c2}{a^2} = \frac{c^2a2}{b^2} \implies b^4 = a^4 \implies b = a$（正数条件下）

结合约束$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，可得$a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}}$，代入$S$确实得到$\sqrt{3}$。

另外你提到用Cauchy-Schwarz得到了一个上界，那个方向对求最小值没用，但我们通过平方表达式再结合均值的思路，正好抓住了问题的核心，是不是比微积分方法清爽多了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tani