无需使用Stone-Weierstrass定理证明Bernstein多项式对[0,1]上连续函数的一致收敛性
问题描述
给定$[0,1]$上的任意连续函数$f$，其Bernstein多项式定义为：
$$B_nf(x) = \sum_{i=0}^n\binom n i xi(1-x){n-i} f\left(\frac{i}{n}\right)$$
请不使用Stone-Weierstrass定理证明：
$$\limsup_{n\to\infty}|B_nf - f| = 0$$
提示
对任意$\varepsilon>0$，存在仅依赖于$f$和$\varepsilon$的常数$\alpha$，使得对所有$x,y\in[0,1]$，有
$$ |f(x)-f(y)| < \varepsilon + \alpha M(x-y)^2 $$
其中$M=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|$。
我的尝试
我已经知道$f$在紧区间$[0,1]$上是一致连续的，而且$B_nf$作为多项式当然也是一致连续的。所以任取$\varepsilon > 0$，总能找到一个$\delta>0$，只要$|x-y|<\delta$，就有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。如果需要的话，同样也能得到当$|x-y|<\delta$时，$|B_nf(x)-B_nf(y)|<\varepsilon$——不过我暂时不确定这一点有没有实际用处，但先记下来总没坏处。
另外我还推导了这么一个不等式：
$$ \sup_{x\in[0,1]} |B_nf(x) - f(x)| \le \sup_{x\in[0,1]} \left(|B_n f(x)|+|f(x)|\right) \le \sup_{x\in[0,1]}\left(B_n|f(x)|+|f(x)|\right) $$
不过同样，我也没看出来这个式子能帮我推进证明。
现在我最头疼的是完全摸不清提示的作用方向，虽然我已经算出了$\alpha$的具体表达式，但感觉它的具体定义对解决这个核心问题没什么帮助。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Addem
