关于几乎线性闭环系统稳定性证明中李雅普诺夫函数方法的修正咨询

问题背景 #

我想找到一个李雅普诺夫函数，证明以下闭环系统的稳定性：
$$\dot{x}=(A-BK)x+(z(u)+\epsilon)$$
其中控制输入的函数$z(u)$满足$|z| < \rho |x|$（$\rho$是一个小的正常数），$K$是LQR的最优反馈增益，$\epsilon$是小扰动。可以把这个系统看作带有小非线性扰动的几乎线性系统。

我的尝试（未达成目标） #

我尝试用李雅普诺夫函数$V=x^\top P x$（$P$来自LQR的Riccati方程，是半正定矩阵），想通过将$\dot{V}$的上界用$V$表示，再应用比较引理来证明$\lim_{t \to \infty}|x|$收敛到一个误差球里。不过我的证明只得出了$|\Lambda x|$（其中$\Lambda$满足$P=\Lambda^\top\Lambda$）收敛，没能证明$|x|$收敛，希望得到修正建议或者其他解决方案。

我的证明过程如下：

1. 计算李雅普诺夫函数的导数：
   $$\dot{V} =\dot{x}^\top P x + x^\top P \dot{x}$$
   $$=x^\top(A-BK)\top P x + x^\top P(A-BK)x+2x^\top P(z+\epsilon) $$
2. 利用Riccati方程的性质，将前两项用LQR的权重$R, Q$重写：
   $$=x^\top(-Q-K\top R K) x +2x^\top P(z+\epsilon) \tag{i}$$
3. 引入$w=\Lambda x$（满足$P=\Lambda^{\top\Lambda$，因此$V=|w|}2$），结合$|z| < \rho |x|$和$|\epsilon|<\epsilon_m$，对$\dot{V}$做上界估计：
   $$\dot{V} \leq \lambda_{max}(-Q-K^\top R K)|x|^2+2|x\top P|(\rho|x|+\epsilon_{m})$$
   $$\leq \lambda_{max}(-Q-K^\top R K)|\Lambda^{-1}w |^2+2|w\top \Lambda|(\rho|\Lambda^{-1}w|+\epsilon_{m})$$
   $$\leq \lambda_{max}(-Q-K^\top R K)\sigma(\Lambda^{-1})2|w |^{2+2\sigma(\Lambda)(\rho\sigma(\Lambda}{-1})|w |^2+\epsilon_m|w |) \tag{ii}$$
   这里$\sigma(\cdot)$表示最大奇异值，记$\lambda = \lambda_{max}(-Q-K^\top R K)$（负半定矩阵的最大特征值）。
4. 整理得到$\dot{V}$关于$V$的不等式：
   $$\dot{V} \leq \alpha V+2\beta\sqrt{V} \tag{iii}$$
   其中$\alpha=\sigma(\Lambda^{-1})2(\lambda +2\sigma(\Lambda)\frac{\rho}{ \sigma(\Lambda^{-1}) })$，$\beta=\sigma(\Lambda)\epsilon_{m} $。
5. 令$W=\sqrt{V}$，则$\dot{W}=\dot{V}/2\sqrt{V}$，代入(iii)得到：
   $$\dot{W} \leq \frac{\alpha}{2}W+\beta \tag{iv}$$
6. 应用比较引理，得到：
   $$W(t) \leq W_{0}\exp(\frac{\alpha}{2}(t-t_{0}))-\frac{2\beta}{\alpha}$$
   当$\lambda +\sigma(\Lambda)\frac{\rho}{ \sigma(\Lambda^{-1}) }<0$时，$\frac{\alpha}{2}<0 $，此时$W(t)=\sqrt{V(t)}=|w|$收敛到误差球$\epsilon_{error}=-\frac{2\beta}{\alpha}=-\frac{2\sigma(\Lambda)\epsilon_{m}}{\sigma(\Lambda^{-1})2(\lambda +\sigma(\Lambda)\frac{\rho}{ \sigma(\Lambda^{-1}) })}$。

我的困惑 #

如上述过程所示，我只证明了$|w|=|\Lambda x|$收敛，但目标是证明$|x|$收敛。请问：

• 我该如何修正这个证明过程？
• 李雅普诺夫函数或比较引理的方法是否不适合这个问题？

希望能得到你的建议，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SpaceTAKA