关于Riasat Inequalitus中四变量不等式的证明疑问

最近我在研究一个四变量不等式问题，已知$a,b,c,d>0$且$a+b+c+d=4$，需要证明：
$$\frac{4}{abcd}⩾\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$$

我在网上搜过相关的讨论帖，但没看到和我思路一致的证明，而且自己也没理清推导里的问题，想请大家帮忙看看我的过程：

首先我把原不等式两边同时乘以正数$abcd$（不等号方向不变），得到：
$$4⩾\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\right)(abcd)$$

接着我用了AM-GM不等式：对于四个正数$\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{d},\frac{d}{a}$，它们的算术平均值大于等于几何平均值，即：
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}⩾4\sqrt[4]{\frac{a}{b}·\frac{b}{c}·\frac{c}{d}·\frac{d}{a}}=4$$

然后我把这个结果代入之前的不等式，得到：
$$4⩾\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\right)(abcd)⩾4(abcd)$$

两边同时除以4，就推出了$1⩾abcd$。

于是我想，既然当$a+b+c+d=4$时，根据AM-GM确实有$\sqrt[4]{abcd}⩽\frac{a+b+c+d}{4}=1$，也就是$abcd⩽1$成立，那是不是就证明了原不等式？

但我总觉得哪里不对——我是不是把逻辑搞反了？毕竟从$4⩾X·Y$且$X≥4$，只能推出$Y≤1$，这是原不等式成立的必要条件，而不是充分条件啊？也就是说，就算$abcd≤1$，也不能反过来保证$4≥X·Y$成立，我的推导是不是只证明了必要条件，没证明充分性？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1204222