关于由两个随机变量生成的σ-代数及关联概率空间的技术问询

Hey there! No need to apologize at all—measure-theoretic probability has a steep learning curve, and this is a totally reasonable question to ask as you get started. Let’s break this down step by step.

首先：共享的概率空间 #

首先要明确，当我们讨论多个随机变量（比如这里的X和Y）时，几乎所有情况下都会假设它们定义在同一个基础概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$上。这是讨论变量间依赖关系（比如相关性、条件概率）的前提。

简单回顾一下概率空间的三个核心部分：

• $\Omega$是样本空间：包含所有可能的“原始”随机结果。如果你设定$\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$，那么每个$\omega \in \Omega$就是一个n维的原始结果向量。
• $\mathcal{F}$是$\Omega$上的σ-代数：是所有能被赋予概率的“事件”的集合。如果$\Omega = \mathbb{R}^{n$，$\mathcal{F}$通常取$\mathbb{R}}n$上的Borelσ-代数$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$——也就是所有可以通过开区间的可数并、交、补运算构造出来的集合。
• $\mathbb{P}$是概率测度：给$\mathcal{F}$中的每个事件分配一个0到1之间的概率值。

X和Y本质上是从$\Omega$到$\mathbb{R}$（或$\mathbb{R}^k$，如果是向量值随机变量）的可测函数：$X: \Omega \to \mathbb{R}$，$Y: \Omega \to \mathbb{R}$，且它们关于$\mathcal{F}$可测（意思是对$\mathbb{R}$上的任意Borel集$B$，$X^{-1}(B) = {\omega \in \Omega : X(\omega) \in B}$属于$\mathcal{F}$，Y同理）。

X和Y生成的σ-代数 #

$\sigma(X)$和$\sigma(Y)$是$\mathcal{F}$的子σ-代数——它们是让X、Y分别满足可测性的最小σ-代数。更具体地说：

• $\sigma(X)$是所有形如$X^{-1}(B)$的集合的集合，其中$B$是$\mathbb{R}$上的Borel集。直白点讲，这些事件都是仅通过观察X的取值就能确定是否发生的事件。
• 同理，$\sigma(Y)$是所有形如$Y^{-1}(B)$的集合的集合——仅通过Y的取值就能确定的事件。

针对你的模型：$Y = f(X) + \epsilon$ #

你的模型引入了噪声项$\epsilon$，它同样是定义在同一个$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$上的随机变量。我们分两种关键情况讨论：

情况1：$\epsilon$是退化的（即常数，比如$\epsilon=0$） #

如果$\epsilon$是固定值（没有随机性），那么Y就是X的函数：$Y = f(X)$。假设$f$是Borel可测函数（概率中的标准假设），那么Y就是X的可测函数。

这种情况下，$\sigma(Y) \subseteq \sigma(X)$。原因很简单：$\sigma(Y)$中的任意事件都是$Y^{-1}(B) = { \omega : f(X(\omega)) \in B } = { \omega : X(\omega) \in f^{-1}(B) }$。因为$f$是Borel可测的，$f^{{-1}(B)$是$\mathbb{R}$上的Borel集，所以$X}{-1}(f^{-1}(B))$属于$\sigma(X)$。也就是说，$\sigma(Y)$中的每个事件都属于$\sigma(X)$，因此包含关系成立。

情况2：$\epsilon$是非退化的（随机噪声，通常假设与X独立） #

如果$\epsilon$自带随机性（比如独立于X的正态分布变量），那么Y的值无法完全由X决定——此时$\sigma(Y)$不会是$\sigma(X)$的子集，反过来$\sigma(X)$也通常不是$\sigma(Y)$的子集。

举个例子：设X是伯努利随机变量（取值0或1），$\epsilon \sim N(0,1)$且与X独立，$Y = X + \epsilon$。事件“$\epsilon \in (0,1)$”等价于“$Y - X \in (0,1)$”——但你仅通过X的取值无法判断这个事件是否发生（比如知道X=0，也没法确定$\epsilon$是否在0到1之间）。所以这个事件属于$\sigma(X,Y)$（由X和Y共同生成的σ-代数），但不属于$\sigma(X)$。同理，你也无法仅通过Y的取值确定“X=1”：Y=1.5可能是X=1且$\epsilon=0.5$，也可能是X=0且$\epsilon=1.5$，因此$\sigma(X)$也不是$\sigma(Y)$的子集。

如果$\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$，σ-代数都是Borelσ-代数吗？ #

答案通常是否定的。基础σ-代数$\mathcal{F}$一般是$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$，但$\sigma(X)$和$\sigma(Y)$是$\mathcal{F}$的子σ-代数，而非整个Borelσ-代数。

比如，假设$\Omega = \mathbb{R}^2$，X是第一个坐标函数（$X(\omega_1, \omega_2) = \omega_1$），那么$\sigma(X)$是所有形如$A \times \mathbb{R}$的集合（其中$A$是$\mathbb{R}$上的Borel集）——这是$\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$的真子集。只有当X是“全信息”函数（比如$\Omega = \mathbb{R}^n$时的恒等函数$X(\omega) = \omega$），$\sigma(X)$才会等于$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者John Williams