李群中“李子群包含单位元连通分支当且仅当商空间为离散流形”的证明疑问

设$G$为李群，$H$为$G$的李子群，则$H$包含$G$的单位元连通分支$G^0$当且仅当商空间$G/H$是离散流形。

我最近在琢磨这个命题的证明，其中一个方向很直观：

• 若$H$包含$G^{0$，因为$G/G}0$本身就是离散流形，那么$G/H$作为$G/G^0$的商空间，自然也是离散的，这部分完全没问题。

但反过来的推导我卡壳了：

• 如果$G/H$是离散流形，那么$H$作为单位元所在陪集的原像，在商映射是开映射的前提下，$H$是$G$中的开子集。而且$H$显然包含单位元，所以$H\cap G^0$是$G0$里的一个非空开子集。可我实在想不通，怎么从这一步推出$H$包含整个$G^0$呢？难道必须要用到$H$的连通性吗？但题目里并没有给出$H$是连通的条件啊...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dian_Horton92