关于带负分数幂多项式的魏尔斯特拉斯变换及积分$I = \int_{-\infty}^\infty (1+bx^2)^{-k/2} e^{-ax^2} dx$的求值问询

嘿，这个积分的求解其实可以从超几何函数的基本定义和积分表示入手，结合你已经完成的变量替换就能推导明白Mathematica给出的结果，我来一步步拆解给你看：

首先，你已经把原积分转化为了正确的形式：
$$I = \int_0^\infty y^{-1/2}(1+by){-k/2}e^{-ay}dy$$
（这里你利用偶函数性质和$y=x^2$的替换，刚好抵消了变量替换带来的系数，做得很对～）

接下来，我们可以从合流超几何函数$_1F_1$的积分表示出发来推导这个结果，回忆一下$_1F_1(a;c;z)$的积分定义：
$$_1F_1(a;c;z) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)} \int_0^1 t^{a-1}(1-t){c-a-1}e^{zt}dt \quad (\text{Re}(c)>\text{Re}(a)>0)$$

另外，你的积分还可以通过变量替换转化为Kummer型积分，比如令$t = \frac{by}{1+by}$，即$y = \frac{t}{b(1-t)}$，代入后化简可得：
$$I = \frac{1}{\sqrt{b}} \int_0^1 t^{-1/2}(1-t){\frac{k-1}{2}-1} e^{-\frac{a}{b} \cdot \frac{t}{1-t}} dt$$
这个积分可以通过Kummer变换（$_1F_1(a;c;z)=e^z _1F_1(c-a;c;-z)$）转化为合流超几何函数的形式。

Mathematica给出的两项和的结果，其实对应了利用伽马函数递推关系拆分后的两种情况：

• 当$k$为奇数时，$\Gamma\left(\frac{1-k}{2}\right)$是负半整数点的伽马函数值，看起来有极点，但和前面的$\left(\frac{b}{a}\right)^{-k/2}$项结合后会抵消奇点，得到有限值；
• 当$k$为偶数时，另一项的伽马函数组合也会做类似的奇点抵消。

另外，你提到的用Identity 16.5.3得到的$_2F_0$渐近级数，其实可以通过超几何函数的恒等式转化为收敛的$_1F_1$形式——因为$_1F_1$对任意有限的$z$都是收敛的，这刚好满足你不想用渐近级数的需求。

总结一下Mathematica结果的推导逻辑：

• 第一步：利用偶函数性质和变量替换把原积分转化为非负半轴上的积分；
• 第二步：将积分表示为合流超几何函数的积分形式；
• 第三步：利用伽马函数的递推公式和Kummer变换，把表达式整理为两项$_1F_1$的和；
• 第四步：处理负半整数点的伽马函数值，确保结果是有限的。

如果需要更具体的推导细节，你可以针对$k$为奇数或偶数的情况分别展开，或者直接用超几何函数的恒等式去匹配Mathematica给出的结果～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者artag