关于存在与复线性算子空间共轭且对乘法封闭的非平凡实线性算子空间的问询

先明确一下背景里的核心定义：

一个实向量空间 $W$ 被称为与复向量空间 $V$ 共轭，当且仅当 $W \subseteq V$，且对任意 $v \in V$，都存在唯一的表示形式 $v = w_1 + iw_2$，其中 $w_1, w_2 \in W$。

这个定义还有个等价的简洁表述：$W$ 的任意一组基同时也是 $V$ 的一组基。

举个具体的例子，对于 $\mathbb{C}^n$ 来说，$\mathbb{R}^n$ 就是典型的共轭子空间，但这类空间不止这一个——只要取 $\mathbb{C}^n$ 的任意一组基，然后在实数域上张成的空间，都是符合要求的共轭子空间。

现在我遇到的问题是：在复线性算子空间 $L(\mathbb{C}^n)$ 中，除了 $L(\mathbb{R}^n)$ 之外，是否还存在其他既是共轭子空间、又对乘法封闭的实线性算子空间？目前我只确定 $L(\mathbb{R}^n)$ 满足这两个条件，但完全不知道该怎么着手分析是否有其他的可能性。

说一下这个问题的动机：我是在思考自伴算子空间的时候想到的——自伴算子空间是共轭子空间，但它并不对乘法封闭，所以我就好奇有没有同时满足这两个性质的非平凡例子。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tomer Kandel