轨道范畴中商群的对应关系验证及反范畴规避方法问询

我最近在学习Riehl的1.3.15例子里定义的轨道范畴$\text{Orb}_G$，有个猜想想请大家帮忙验证，同时也想问问有没有办法绕开反范畴这个有点别扭的设定。我的猜想是：商群$G/H$对应于$(\text{Orb}_G)^{\text{op}}$中以$G/H$为对象的全子范畴，下面是我的推理过程，想确认是否正确：

首先明确$\text{Orb}_G$的定义：

• 对象：所有形如$G/H$的左$G$-集，其中$H$是$G$的子群；这里$G/H = {gH \mid g \in G}$，左$G$-作用定义为$g' \bullet gH = (g'g)H$，$gH = {gh \mid h \in H}$是左陪集。
• 态射：所有$G$-等变映射。

我发现以下两个条件成立：

• 对任意态射$G/H \overset{\alpha}\to G/K$，都存在$\gamma \in G$，使得对每个$gH \in G/H$，都有$\alpha(gH)=g\gamma K$，且此时满足$\gamma^{-1} H \gamma \subseteq K$；
• 反过来，只要$\gamma \in G$满足$\gamma^{-1} H \gamma \subseteq K$，就能定义态射$G/H \overset{\alpha^{\gamma}}\to G/K$，映射规则为$\alpha^{\gamma}(gH)=g\gamma K$，对所有$gH \in G/H$均成立。

当$H$是正规子群时，对任意$\gamma \in G$都有$\gamma^{-1} H \gamma \subseteq H$，这时候$\text{Orb}_G$中所有以$G/H$为定义域的态射，陪域也都是$G/H$，这些态射构成集合${\alpha^{\gamma} \mid \gamma \in G}$，其中$\alpha^{\gamma}(gH)=g\gamma H$。

再看商群$G/H$的结构：它的元素是$gH$，群乘法定义为$(gH) * (g'H) = (gg')H$，这个乘法对应到态射上的话，$(gH)*(g'H)$其实就是$\alpha^{{g'}$作用在$gH$上的结果——即$\alpha}{g'}(gH)=(gg')H$。

但如果我们取$\text{Orb}_G$中以$G/H$为对象的全子范畴$S$，它的态射就是这些自同态$\alpha^{{g}$，但这些态射的复合顺序和商群里的乘法顺序是相反的：比如在$S$中，态射复合$\alpha}{g'} \circ \alpha^{g$对应的是先应用$\alpha}g$再应用$\alpha^{{g'}$，而商群里$(gH)*(g'H)$是先取$gH$再和$g'H$相乘，对应的是$\alpha}g$与$\alpha^{{g'}$的“反向”复合。所以我认为，作为单对象范畴的$G/H$，其实和$S}{\text{op}}$是等价的。

想问问大家，这个推理过程是正确的吗？如果正确的话，有没有什么办法可以重新表述这件事，从而避开反范畴这种看起来有点麻烦的形式呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Richard Southwell