关于Clifford模扭曲空间中元素与Clifford作用关系的疑问

我最近在读《Heat Kernels and Dirac Operators》这本书时，碰到了一个关于Clifford模扭曲空间的困惑，想和大家一起讨论下。

先明确一下背景定义：
设$V$是一个偶数维欧几里得向量空间，$S$是旋量模，$E$是Clifford代数$C(V)$的一个模。我们把
$$W=\mathrm{Hom}_{C(V)}(S,E)$$
称为$E$的扭曲空间。

我的疑问点在于：
书中明确指出$\mathrm{End}_{C(V)}(E)$中的元素被定义为与Clifford作用超交换，但我认为对于扭曲空间$W$里的元素来说，应该是与Clifford作用交换才对。下面是我的推导过程，麻烦大家帮忙看看哪里有没有疏漏？

我们定义一个偶映射$T\in L(S\otimes W,E)$，满足：
$$T(s\otimes w)=w(s)$$
因为$T$是偶映射，所以它与Clifford作用超交换的充要条件是它与Clifford作用交换。而这又等价于$W$中的所有元素都与Clifford作用交换，具体推导如下：

固定$x\in C(V)$，$s\in S$和$w\in W$，分别计算两边的复合：

• 左边：
  $$(T\circ c_{S\otimes W}(x))(s\otimes w)=T(c_S(x)\otimes 1(s\otimes w))=T(c_S(x)(s)\otimes w)=(w\circ c_S(x))(s)$$
• 右边：
  $$(c_E(x)\circ T)(s\otimes w)=(c_E(x)\circ w)(s)$$

由此可得，等式$T\circ c_{S\otimes W}(x)=c_E(x)\circ T$成立，当且仅当对所有$w\in W$，都有$w\circ c_S(x)=c_E(x)\circ w$——也就是$W$中的元素与Clifford作用交换，而非超交换。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Filippo