关于模方程解数函数$f(a,n)$的生成函数及特性的技术问询

最近我遇到了土耳其国家队选拔测试中的一道题，题目内容如下：

$f(a,n)$ 代表满足同余方程 $$x_1x_2\cdots x_{10} \equiv a \pmod{n}$$ 的10元组 $(x_1,x_2,\cdots,x_{10})$ 在模$n$意义下的解的个数。给定正整数$a,b$，证明存在某个正整数$c$，使得 $\frac{f(a,cn)}{f(b,cn)}$ 是一个常数。

针对这个函数$f(a,n)$，我有一个问题想请教：

• 有没有可以用来计算$f(a,n)$的生成函数？如果没有的话，这个函数都具备哪些特性呢？

另外我自己做了一些尝试，发现对于规模更小的元组（比如少于10个变量的情况），存在这样一个等式，但还没能证明它的一般形式：

对于所有满足$\gcd(m,n)=1$的正整数$m,n$，有 $f(a,mn)=f(a,m) \cdot f(a,n)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Abc