关于[0,1]中不属于康托集的元素的三进制展开形式的疑问

嘿，我来帮你把这个逻辑理清楚～

首先先回顾下康托集 (A) 的定义：它是[0,1]中所有三进制展开只包含0和2的数的集合（注意：有些数存在两种三进制展开，比如 (1/3) 可以写成 (0.1_3)，也可以写成 (0.0222\cdots_3)，后者属于康托集，所以这类数是包含在 (A) 里的）。

你的核心疑问是：为什么不在 (A) 里的 (x)，一定能写成题目里的(1)式？我们可以一步步拆解：

• 先看x的三进制展开：任何[0,1]内的数都至少有一个三进制展开。因为 (x \notin A)，所以它的所有三进制展开中，至少有一个位置出现了数字1——如果所有展开都只有0和2，那x必然属于 (A)，这和前提矛盾。
• 定位第一个出现1的位置：取x的某个三进制展开，找到第一个出现1的位置n。这意味着前n-1位的数字都是0或2（记为 (a_1,a_2,\dots,a_{n-1} \in {0,2})），第n位是1，后面的数字是 (b_{n+1},b_{n+2},\dots)。此时x就可以写成：
  $$x=\sum_{i=1}^{{n-1}\frac{a_i}{3}i}+\frac{1}{3^{n}+\sum_{i=n+1}}\infty\frac{b_i}{3^i}$$
  这就是题目里的(1)式啦。
• 为什么b_i不能全为0或全为2？
  • 如果 (b_i) 全为0，那x就等于 (\sum_{i=1}^{{n-1}\frac{a_i}{3}i}+\frac{1}{3^n})。但这个数可以转换成另一种三进制展开：把第n位的1换成0，后面所有位换成2（比如 (1/3=0.1_3=0.0222\cdots_3)），这个展开只含0和2，说明x属于 (A)，和 (x \notin A) 矛盾，所以 (b_i) 不能全为0。
  • 如果 (b_i) 全为2，计算一下后面的无穷和：(\sum_{i=n+1}^{\infty\frac{2}{3}i} = 2 \times \frac{1/3^{n+1}}{1-1/3} = \frac{1}{3^n})。所以x就变成 (\sum_{i=1}^{{n-1}\frac{a_i}{3}i}+\frac{1}{3^{n}+\frac{1}{3}n} = \sum_{i=1}^{{n-1}\frac{a_i}{3}i}+\frac{2}{3^n})，这个展开也只含0和2，同样说明x属于 (A)，矛盾，所以 (b_i) 不能全为2。

反过来，你已经理解如果(1)式成立且 (b_i) 不全0也不全2，那x肯定不在 (A) 里——因为此时x无法转换成只含0和2的三进制展开，自然不属于康托集。

这样是不是就把整个逻辑链打通了？关键是抓住康托集元素的三进制特征，以及那些存在两种展开的数的特殊性～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NatMath