关于闭集与点的距离证明中序列存在性的疑问

问题背景 #

给定度量空间 (X)，非空闭子集 (C \subset X)，若 (x \notin C)，需证明 (D({x}, C) > 0)，其中距离定义为：
[
D(A, B):=\inf {d(x, y) \mid x \in A, y \in B}
]

原证明过程如下：

假设 (D({x}, C)=0)。这意味着存在序列 ({x_n}) 满足 (x_n \in C) 且 (d(x_n, x) \rightarrow 0)。由于 (x \notin C)，则 (x) 是 (C) 的极限点。但 (C) 是闭集，包含所有极限点，因此 (x \in C)，与 (x \notin C) 矛盾。故 (D({x}, C) > 0)。

你的疑问 #

你提出的疑问是：

我对序列 ({x_n}) 的存在性有疑问。看起来这似乎要求 (C) 是无限集，因为如果 (C) 是有限集，就不可能构造出一个无限序列在 (C) 中收敛到 (x)。我认为，由于 (x \notin C)，({x_n}) 必须有无限个不同的点才能收敛到 (x)。

我是不是正确理解了这个证明本质上假设了 (C) 是无限集？还是我对度量空间中的序列和收敛有根本性的误解？

解答 #

其实你这里的核心误解是序列不需要所有元素都是唯一的！度量空间里的序列完全允许重复选取同一个点，哪怕 (C) 是有限集，我们照样能构造出满足条件的序列。

举个直白的例子：假设 (C) 是有限集，要是真的出现 (D({x}, C)=0)（当然实际这种情况不可能发生，后面会说），根据下确界的定义，对每个正整数 (n)，都能找到某个 (y_n \in C)，使得 (d(y_n, x) < \frac{1}{n})。虽然 (C) 里的点是有限的，但我们可以重复选同一个点——比如如果某个 (y \in C) 满足 (d(y,x)) 足够小，我们可以让整个序列 ({x_n}) 全等于这个 (y)，或者在有限几个点里循环选，只要保证 (d(x_n, x)) 能无限趋近于0就行。

不过还有个关键补充：当 (C) 是有限集且 (x \notin C) 时，(D({x}, C)) 其实就是 (x) 到 (C) 中所有点的距离里的最小值，这个最小值肯定大于0（因为每个 (d(x,y)) 都大于0，有限个正数的最小值还是正数）。所以有限 (C) 的情况下，原证明里“假设 (D({x}, C)=0)”这个前提根本不可能成立，自然不会触发后面的矛盾推导，但这完全不影响原命题结论的正确性。

总结一下：

• 序列可以有重复元素，不需要无限个唯一的点，就算 (C) 有限，只要假设 (D({x}, C)=0)，我们依然能找到符合要求的序列；
• 有限 (C) 时，(D({x}, C)) 不可能为0，原证明的反证法在这种情况属于“空推导”，但逻辑依然自洽；
• 原证明并没有假设 (C) 是无限集，它的逻辑对有限和无限的闭集都完全适用。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Incubu121