复变函数中含双变量的三角恒等式证明求助

嗨，我来帮你梳理下这个问题的关键思路，你之前尝试的三角展开方向其实有点绕，不如先从复数的模和辐角性质入手，会简洁很多～

已知 (x,y\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)) 满足：
$$
\begin{align*}
\left(\cos(x)+ i \sin(y)\right)^{2023} &= \cos(2023x) + i\sin(2023y)\
\left(\cos(x) + i\sin(y)\right)^{2024} &= \cos(2024x) + i\sin (2024y),
\end{align*}
$$
求证：
$$
\left(\cos(x) + i\sin (y)\right)^{2025} = \cos(2025x)+i\sin(2025y).
$$

第一步：利用复数模的性质推导(x=y) #

设复数 (z = \cos x + i\sin y)，观察题目中两个等式的右边：(\cos(nx) + i\sin(ny)) 都是模为1的复数（因为(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1)）。

根据复数模的运算性质：(|z^n| = |z|^n)，所以：

• (|z|^{2023} = |\cos(2023x) + i\sin(2023y)| = 1)
• (|z|^{2024} = |\cos(2024x) + i\sin(2024y)| = 1)

由于2023和2024是互质的正整数，若(|z|≠1)，则(|z|^{{2023})和(|z|}{2024})必然一个大于1、一个小于1，不可能同时等于1。因此只能有(|z|=1)，即：
$$\sqrt{\cos^2x + \sin^2y} = 1 \implies \cos^2x + \sin^2y = 1$$

结合(x,y\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\cos x)和(\sin y)都是正数，上式可变形为：
$$\sin^2y = 1 - \cos^2x = \sin^2x$$
因为正弦函数在((0,\frac{\pi}{2}))上单调递增，所以(\sin y = \sin x)，即(y=x)。

第二步：利用棣莫弗公式直接得出结论 #

当(y=x)时，复数(z = \cos x + i\sin x)，这是一个单位复数。根据棣莫弗公式：
$$(\cos x + i\sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$$

此时题目中的两个条件自然成立，同时对于(n=2025)：
$$(\cos x + i\sin y)^{2025} = (\cos x + i\sin x)^{2025} = \cos(2025x) + i\sin(2025x) = \cos(2025x) + i\sin(2025y)$$
（因为(y=x)，所以(\sin(2025y)=\sin(2025x))）

补充：如果不想直接推导(x=y)，用递推关系也能证 #

如果你想避开直接得出(x=y)，可以利用(z^{n+1}=z\cdot z^n)的递推关系：

由题目条件，(z^{2024}=z\cdot z^{2023})，展开后对比实部虚部，能得到(\sin2023x\sin x = \sin y\sin2023y)和另一项关于余弦的等式。再推导(z^{2025}=z\cdot z^{2024})时，利用前面得到的等式替换，就能证明实部虚部分别等于(\cos2025x)和(\sin2025y)，不过这个过程确实会繁琐一些，不如模的性质来得直接。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JJX