关于多项式余数定理中$f(r)$与$(x-r)$因式关系的疑问

嘿，咱们先把问题拆解清楚哈～

首先得明确核心前提：所有讨论的函数都是多项式，这点是关键。

你已经知道多项式余数定理：对任意多项式$f(x)$和常数$r$，总能写成 $f(x)=(x-r)g(x)+f(r)$，其中$g(x)$是某个多项式，而$f(r)$是个常数（毕竟把$x=r$代入后，$(x-r)g(x)$这一项直接归零，剩下的就是固定数值）。

现在你的疑问是：有没有可能$f(r)$是$(x-r)$的因式？咱们一步步分析：

• 先看$(x-r)$的属性：它是一个一次多项式，在多项式的因式体系里，它的因式要么是非零常数（这属于“平凡因式”，通常因式分解会默认排除这种情况），要么是它自身的非零常数倍（比如$k(x-r)$，$k≠0$）。
• 再看$f(r)$：它是个常数（因为$r$是固定值，代入多项式$f(x)$得到的必然是常数）。那常数要成为$(x-r)$的因式，得满足多项式整除的定义：存在多项式$h(x)$，使得$(x-r)=f(r)h(x)$。

分两种情况讨论：

1. 当$f(r)≠0$时：
   这时候$h(x)$必须是$\frac{1}{f(r)}(x-r)$，这确实是多项式，但本质上是$(x-r)$是$f(r)$的倍式，而非$f(r)$是$(x-r)$的非平凡因式。而且这种情况是“平凡”的——因为任何多项式都能被非零常数整除，这并不是余数定理相关的特殊情况。
2. 当$f(r)=0$时：
   此时$f(r)$是零多项式，而零多项式不能作为因式（一来多项式除法不允许除以零多项式，二来零多项式乘任何多项式都是零，根本得不到$(x-r)$这种非零多项式）。

再看你自己做的推导：你假设$f(r)/(x-r)=h(x)$，进而得到$f(x)=(x-r)(g(x)+h(x))$，这里有个漏洞——当$f(r)≠0$时，$f(r)/(x-r)$并不是多项式（它的次数是-1，不符合多项式次数非负的要求），所以这个假设本身不成立，推导自然走不通啦。

总结一下：

• 不存在非平凡的情况让$f(r)$成为$(x-r)$的因式；
• 当$f(r)=0$时，$f(r)$是零多项式，无法作为因式；当$f(r)≠0$时，$f(r)$是非零常数，虽能整除$(x-r)$但属于平凡的整除关系，并非你想问的那种关联。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者General ASWalter