正定实对称矩阵与实对称矩阵的合同变换问题：是否存在V使得V^TAV=I且V^TBV为对角矩阵？

嘿，这个问题问得很关键！答案是完全可以，下面我一步步给你推导证明：

1. 先处理正定矩阵A的合同标准化
   因为A是正定实对称矩阵，根据正定矩阵的基本性质，必然存在一个可逆矩阵$P$，使得$P^TAP = I$（这里的I是单位矩阵）。这一步是正定矩阵合同对角化到单位矩阵的标准操作，逻辑上完全成立。

2. 对变换后的B矩阵做正交对角化
   我们把B通过P做合同变换，得到$C = P^{TBP$。因为B是实对称矩阵，所以$C$也是实对称矩阵——你可以简单验证：$(P}TBP)^T = P^TBTP = P^{TBP$，毕竟B本身是对称的，$B}T=B$。

而实对称矩阵的核心性质之一就是可以正交对角化，也就是说存在一个正交矩阵$Q$，使得$Q^TCQ = D$，其中$D$是对角矩阵。

3. 构造满足条件的变换矩阵V
   现在我们令$V = PQ$，来验证它是否满足要求：

• 先看$V^TAV$：
  $V^TAV = (PQ)^TA(PQ) = Q^T(PTAP)Q = Q^{TIQ$，因为Q是正交矩阵，$Q}TQ=I$，所以结果就是$I$，完美符合第一个条件。
• 再看$V^TBV$：
  $V^TBV = (PQ)^TB(PQ) = Q^T(PTBP)Q = Q^TCQ = D$，正好是对角矩阵，满足第二个条件。

另外补充一句，V肯定是可逆的——因为P是可逆矩阵，Q是正交矩阵（正交矩阵必然可逆），两个可逆矩阵的乘积还是可逆的，所以V的可逆性也有保障。

你之前提到的“正交变换对角化A但不一定对角化B”的情况，其实是因为直接用正交变换处理A，但我们这里的思路是先通过合同变换把A变成单位矩阵，再对变换后的B做正交对角化，把这两步结合起来，就得到了同时满足两个条件的V啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fermion