关于极大弦图存在性及非完全实例的技术问询

嘿，最近在琢磨弦图的相关概念，碰到个困惑想请教大家：

先明确下基础定义：

弦图是指所有包含4个及以上顶点的环都含有弦的图——这里的弦是指不属于环本身，但连接环中两个顶点的边。

我不确定学术上有没有极大弦图这个正式概念，所以自己先暂定了一个定义：

一个弦图是极大的，当且仅当在任意一对不相邻的顶点之间添加一条边后，得到的图要么不再是弦图，要么不再是简单图。

按照这个定义，完全图肯定是满足条件的，但我好奇：除了完全图之外，还有没有其他的极大弦图？

另外提个相关术语：有时候我们把不是三角形的导出环叫做「洞（hole）」。换个方式问我的问题就是：是否存在非完全的弦图，使得在它上面添加任意一条边都会产生一个洞？

如果这种非完全的极大弦图不存在的话，是不是意味着从任意一个弦图出发，我们可以不断添加边（同时维持弦图的性质），直到把它补成完全图？

我自己用计算机逐个排查了顶点数≤10的弦图，没找到符合要求的例子，但不确定顶点数更多的情况下会不会有例外。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者licheng