求证分数阶Sobolev子空间X_p^s(Ω)中W^{s,p}范数与Gagliardo半范数的等价性及有界区域条件的作用

嗨，我来帮你梳理这个问题的核心证明思路和有界区域的关键作用~

首先你已经搞定了$[u]{s,p} \le |u|{s,p}$这个方向（毕竟全范数本身就包含了半范数的项，逻辑很直接），现在只需要证明存在常数$c>0$使得$|u|{s,p} \le c [u]{s,p}$——本质上就是要证**$L^{p$范数$|u|_p$能被Gagliardo半范数$[u]_{s,p}$控制**，因为全范数是$(|u|_p}p + [u]_{s,p}^p){1/p}$，只要$|u|_p$能被半范数控制，全范数的估计就水到渠成。

核心不等式$|u|p \le c [u]{s,p}$的证明 #

我们用反证法结合分数阶Sobolev空间的自反性来推导：
假设不存在这样的常数$c$，那么必然存在序列${u_k} \subset X_p^s(\Omega)$，满足：
$$|u_k|p = 1, \quad [u_k]{s,p} \to 0 \quad (k \to \infty)$$
因为$p>1$，$W^{{s,p}(\mathbb{R}}n)$是自反空间，所以存在子序列（仍记为${u_k}$）和$u \in W^{{s,p}(\mathbb{R}}n)$，使得$u_k$弱收敛到$u$，即对任意$\phi \in W^{{s,p'}(\mathbb{R}}n)$（其中$p'=p/(p-1)$），有：
$$\int_{\mathbb{R}^n} u_k \phi dx \to \int_{\mathbb{R}^n} u \phi dx$$
又因为所有$u_k$在$\mathbb{R}^n \setminus \Omega$上几乎处处为0，弱收敛的极限$u$也必然满足$u=0$在$\mathbb{R}^n \setminus \Omega$几乎处处成立，即$u \in X_p^s(\Omega)$。

接下来，$[u_k]_{s,p} \to 0$意味着$u$是常数函数——Gagliardo半范数衡量的是函数的“振荡程度”，半范数为0的函数必然是常数。但$u=0$在$\mathbb{R}^n \setminus \Omega$上，而$\Omega$是有界非空区域，所以这个常数只能是0，即$u \equiv 0$。

但我们假设了$|u_k|p=1$，而弱收敛到0的序列在$L^p$空间中范数满足$\liminf{k \to \infty} |u_k|_p \ge |u|_p = 0$，这就产生了矛盾。因此原假设不成立，必然存在常数$c>0$使得$|u|p \le c [u]{s,p}$。

有了这个结果，全范数的估计就很简单了：
$$|u|{s,p} = \left(|u|p^p + [u]{s,p}^p\right){1/p} \le \left(c^p [u]{s,p}^p + [u]{s,p}^p\right){1/p} = (c^p + 1)^{1/p} [u]{s,p}$$
取$c'=(c^p+1){1/p}$，就得到了你需要的不等式$|u|{s,p} \le c' [u]{s,p}$。

有界区域$\Omega$的关键作用 #

这个条件是等价性成立的必要前提，核心原因有两个：

1. 反证法的矛盾依赖有界性：如果$\Omega$是无界区域（比如$\Omega=\mathbb{R}^n$），常数函数$u \equiv 1$属于$W^{{s,p}(\mathbb{R}}n)$，它的Gagliardo半范数$[u]_{s,p}=0$，但$L^{p$范数$|u|_p=\infty$，显然无法用半范数控制$L}p$范数，等价性直接失效。
2. 分数阶Poincaré不等式的前提：我们证明的$|u|p \le c [u]{s,p}$本质是分数阶Poincaré不等式，这类不等式要求区域有界（或具备有限直径等几何条件），无界区域下无法保证控制常数的存在性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user603537