关于豪斯多夫林德勒夫P空间的正规性证明问询

嗨，我来一步步帮你搞定这个证明～首先咱们先把用到的几个空间定义再明确一遍，避免搞混：

• Lindelöf空间：空间$X$的任意开覆盖，都能找出一个可数的子覆盖来覆盖整个空间。
• P-空间：空间里任意可数个开集的交集，结果还是开集（这是个很关键的性质，一般拓扑空间里可数交开集不一定是开的，比如欧氏空间里的单点集是可数个开球的交，但不是开集）。
• Hausdorff空间：任意两个不同的点，都能找到不相交的开邻域；而我们要证的正规空间要求更强：任意两个不相交的闭集，都能找到不相交的开邻域分别包含它们。

接下来正式开始证明：

假设$X$是Hausdorff Lindelöf P-空间，任取$X$中两个不相交的闭集$A$和$B$。

步骤1：利用Hausdorff性质构造局部不相交开邻域 #

对于$A$里的每一个点$a$，因为$B$是闭集且$a\notin B$，结合Hausdorff空间的性质，我们可以找到两个不相交的开集：$U_a$（包含$a$）和$V_a$（包含整个$B$），满足$U_a \cap V_a = \emptyset$。

步骤2：利用Lindelöf性质缩减为可数覆盖 #

现在，${U_a \mid a \in A}$是闭集$A$的一个开覆盖（因为每个$U_a$都是开集，且覆盖了$A$）。而Lindelöf空间的闭子空间也是Lindelöf的，所以这个开覆盖存在一个可数子覆盖——也就是能选出可数个$U_{a_1}, U_{a_2}, U_{a_3}, \dots$，它们的并集就能覆盖整个$A$。对应的，我们也有可数个包含$B$的开集$V_{a_1}, V_{a_2}, V_{a_3}, \dots$，每个$V_{a_n}$都和对应的$U_{a_n}$不相交。

步骤3：利用P-空间性质构造全局开邻域 #

现在定义两个集合：

• $U = \bigcup_{n=1}^{\infty} U_{a_n}$：这是可数个开集的并集，显然还是开集，而且它包含整个$A$（因为这些$U_{a_n}$是$A$的覆盖）。
• $V = \bigcap_{n=1}^{\infty} V_{a_n}$：这是可数个开集的交集，而$X$是P-空间，所以$V$也是开集；同时每个$V_{a_n}$都包含$B$，所以$V$也包含$B$。

步骤4：验证开集不相交 #

假设存在某个点$x$同时在$U$和$V$里，那$x$肯定在某个$U_{a_k}$里（因为$U$是这些$U_{a_n}$的并），同时$x$在$V_{a_k}$里（因为$V$是所有$V_{a_n}$的交）。但我们一开始就选了$U_{a_k} \cap V_{a_k} = \emptyset$，这就矛盾了！所以$U$和$V$是不相交的。

这样一来，我们就找到了分别包含$A$和$B$的不相交开集，满足正规空间的定义，所以$X$是正规空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PatrickR