关于普引理中群平均概念及$f_{ ext{new}}$为常数的疑问

我最近在维基百科上看普引理（Pu's lemma），被里面的红线部分难住了——作者好像跳过了这部分的细节。于是我去找了Pu的原文论文，结果发现Pu本人在论文第60页也把这部分省略了。而且Pu论文里的参考文献[2]不是英文的，参考文献[3]的第188页看起来没什么用，我觉得有用的是第185页，但那部分对我来说有点复杂。

有没有人能简单解释一下群上的平均这个概念？还有，为什么$f_{\text{new}}$是常数呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Enhao Lan