求助：证明曲线$y^2=x^3+Ax+B$可参数化仅当$x^3+Ax+B$有重根

我现在在啃Shafarevich的《Basic Algebraic Geometry》，其中有个问题要求证明标题里的结论——曲线$y^2=x3+Ax+B$能被有理参数化当且仅当三次多项式$x^3+Ax+B$有重根。

我觉得“当（即如果三次式有重根则可参数化）”这个方向挺容易证的，但反过来的证明卡壳了，实在搞不定，有没有大佬能帮我补完啊！

我先从有理参数化的假设出发，假设存在有理函数$x=\frac{p(t)}{q(t)}$，$y=\frac{f(t)}{g(t)}$（这里$f$和$g$互素）代入曲线方程，得到：
$$(\frac{f(t)}{g(t)})^{2=(\frac{p(t)}{q(t)})}3+A\frac{p(t)}{q(t)}+B$$
两边通分后就有了这个恒等式：
$$f(t)^2q(t)3=g(t)^2[p(t)3+Aq(t)^2p(t)+Bq(t)3]$$
因为$f$和$g$互素，所以右边的三次多项式$p(t)^3+Aq(t)2p(t)+Bq(t)^3$肯定得有平方因子。

到这一步我知道，要么是因式分解后的三个一次因子里有两个是相同的（也就是对应三次式有重根的情况），要么就像@Aphelli提到的那样，存在重复因子——但我死活搞不懂怎么排除第二种情况，或者说怎么证明第二种情况其实也等价于三次式有重根？有没有大佬能帮我把这部分补全，或者给个别的证明思路啊，万分感谢！

编辑：我彻底修改了问题，因为我发现之前的证明确实没做完，自己搞不定这部分。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者littleman