关于向量场流的切映射性质的推导疑问

我来一步步帮你拆解这两个结论的推导，其实都是紧扣切映射的定义和流的基本性质来的，咱们从你已经写出来的式子开始往下推：

第一个结论：$(T_{(0,p)}\Phi)(0,v)=v$ #

你已经知道$\Phi|_{0\times M}$是M上的恒等映射，也就是说对任意$q\in M$，$\Phi(0,q)=q$。那对于任意光滑函数$f\in C^\infty(M)$，复合函数$f\circ\Phi$在$\mathbb{R}\times M$上的取值满足：当第一个变量固定为0时，$f\circ\Phi(0,q)=f(q)$。

现在看切映射的定义式：
$$(T_{(0,p)}\Phi)(0,v)(f)=(0,v)(f\circ\Phi)$$
这里的$(0,v)$是$\mathbb{R}\times T_pM$中的元素——第一个分量是$\mathbb{R}$在0点的切向量0（对应$\mathbb{R}$方向的导数为0），第二个分量是$T_pM$中的向量v（对应M方向的导数）。

那$(0,v)(f\circ\Phi)$的含义就是：把$f\circ\Phi$看作关于$(t,q)$的二元函数，在点$(0,p)$处，沿着“t固定不动，q沿着v的方向”求导。而我们已经知道$f\circ\Phi(0,q)=f(q)$，所以这个导数就等于v作用在f上的结果，也就是$v(f)$。

所以$(T_{(0,p)}\Phi)(0,v)(f)=v(f)$，这就意味着$(T_{(0,p)}\Phi)(0,v)=v$，完全符合向量相等的定义（对所有光滑函数f作用结果相同）。

第二个结论：$(T_{(0,p)}\Phi)(s,0)=sX_p$ #

同样从你写的定义式出发：
$$(T_{(0,p)}\Phi)(s,0)(f)=(s,0)(f\circ\Phi)$$
这里的$(s,0)$是$\mathbb{R}\times T_pM$中的元素——第一个分量是$\mathbb{R}$在0点的切向量s（因为$T_0\mathbb{R}$和$\mathbb{R}$标准同构，所以切向量可以用实数s表示），第二个分量是$T_pM$中的零向量（对应M方向的导数为0）。

这个式子的含义是：把$f\circ\Phi$看作关于$(t,q)$的二元函数，在点$(0,p)$处，沿着“q固定为p，t沿着s的方向”求导。因为$\Phi(t,p)$是向量场X过p的积分曲线，根据积分曲线的定义，我们有：
$$\frac{d}{dt}\bigg|{t=0}f(\Phi(t,p))=X_p(f)$$
而$(s,0)(f\circ\Phi)$其实就是s乘以这个导数（因为切向量s对应$\mathbb{R}$方向的导数是s倍的$\frac{d}{dt}|{t=0}$），也就是：
$$(s,0)(f\circ\Phi)=s\cdot\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0}f(\Phi(t,p))=sX_p(f)$$

同样，对所有光滑函数f来说，这个作用结果都等于$sX_p(f)$，所以$(T_{(0,p)}\Phi)(s,0)=sX_p$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者diiiiiklllllll