求证：每个T₃伪紧P空间均为有限且离散空间

嘿，我来一步步给你梳理这个结论的证明思路，先把涉及的定义再明确一遍，避免混淆：

• T₃空间：同时满足正则性与Hausdorff性的拓扑空间，即：
  • 任意两个不同点，存在不相交的开邻域（Hausdorff性）；
  • 任意闭集$F$和不在$F$中的点$x$，存在不相交的开集分别包含$x$和$F$（正则性）。
• 伪紧空间：所有从空间到实数集的连续实值函数都是有界的。
• P空间：可数个开集的交集仍然是开集（换句话说，所有$G_\delta$集都是开集）。

接下来分两步完成证明：

第一步：证明$X$是离散空间（每个单点集${x}$都是开集） #

任取$x \in X$，由于$X$是Hausdorff空间，单点集${x}$是闭集。结合正则性，我们可以构造一列开邻域${U_n}{n=1}^\infty$，满足$x \in U_n$且$\overline{U{n+1}} \subset U_n$（每一步都能找到包含$x$的开集，其闭包完全包含在前一个开集中）。

考虑这个可数开集族的交集$G = \bigcap_{n=1}^\infty U_n$，显然$x \in G$。因为$X$是P空间，$G$是开集。现在我们证明$G = {x}$：
假设存在$y \neq x$且$y \in G$，那么$y$属于所有$U_n$。但$X$是Hausdorff空间，存在不相交的开集$V_x$（包含$x$）和$V_y$（包含$y$），而$\overline{U_{n+1}} \subset U_n$意味着$\bigcap_{n=1}^\infty \overline{U_n} = G$，这就导致$y$在$\overline{U_n}$中却与$V_x$不相交，矛盾。因此$G = {x}$，即单点集是开集，$X$是离散空间。

第二步：证明$X$是有限空间 #

假设$X$是无限的，结合第一步的结论，$X$是无限离散空间。此时我们可以构造一个无界的连续实值函数：把$X$分成无限个非空单点开集，给每个单点分配一个不同的正整数（比如$f(x_n)=n$，其中${x_n}$是$X$的无限点列）。这个函数$f$是连续的（每个单点集都是开集，纤维自然是开集），但显然$f$是无界的，这与$X$是伪紧空间的定义矛盾。

因此$X$必须是有限的，而有限的Hausdorff空间必然是离散的（单点集的补集是有限个闭集的并，为闭集，故单点集是开集），也验证了第一步的结论。

综上，每个$T_3$伪紧P空间都是有限且离散的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PatrickR