寻求包含摸索与试错过程的全新分析证明推导示例

我发现课堂、教材里呈现的证明通常都是“精修版”——只保留了逻辑上证明定理所需的必要步骤，完全看不到背后的思考过程。

举个具体的例子：我正在学习MIT开放课程里的实分析课（整体来说课程质量很不错）。刚才看到一段讲座，教授提到：

等你们开始写证明就会发现，看起来就像变魔术一样，这个h好像突然发挥了神奇的作用。但实际上，证明不是这么凭空想出来的。真实的过程是：你先拿一个想要处理的不等式，反复摆弄它，然后试出如果h取某个值的话，要么能打破这个不等式，要么能满足它——全看你要达成的目标是什么。

说完这些，教授直接写出了整理好的最终证明。可这恰恰不是我关心的部分！我最想学习的，就是那个“反复摆弄、试错摸索”的过程本身。验证别人写好的证明相对来说是简单的，哪怕像有理数集不具备上确界性质这种结论很重要，但如果我只是想学习有理数的相关知识，大可以直接接受这个断言。可我现在的目标是学会如何自己做分析证明。

我真的很想看到一些证明高手在推导全新证明时的完整过程，包括他们走的死胡同、反复试错的细节等等。

我已经尝试过自己动手证明一些命题，也取得了一点进展，但我觉得如果能看到更多这类“推导过程”的示例，肯定能进步得更快。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hunter