如何判断浮点数运算结果中可靠的十进制位数？

我正试图提升自己判断浮点数短运算后正确十进制位数的能力，尤其希望能通过分析运算过程，建立一套确定可靠位数的流程。

我不寻求使用多精度包的方法，而是希望仅依靠IEEE标准（单精度或双精度）、所用算术操作及输出结果，推断正确的十进制位数。

目前我的方法是依次询问以下问题：

• 使用的是哪种IEEE标准？单精度有8个可用十进制位，双精度则有16个可用十进制位。
• 基于所用IEEE标准，输入在计算机中的存储形式是怎样的？
• 运算中是否包含减法？（若是，这是易出错的环节，因为减法的条件数不佳）
• 输出结果中包含多少个零（小数点前后）？

最终公式：
正确十进制位数 = IEEE标准可用位数 - 输出中的零的数量

示例 #

以下示例用于说明我的问题，所有示例均询问：“输出结果中有多少位十进制数是正确的？”

示例1 #

x = 900000.00000
y = 900000.00012
x - y

Output: -0.00011999998241662979 

我的解法：
此处使用Julia默认的双精度标准，有16个可用位数。从计算机角度看，x和y近似为(9×10⁵)。从人类视角计算x-y得到(-000000.00012)，包含9个零（小数点前后），因此正确位数为16-9=7位。即无论计算机输出的(-0.00011999998241662979)有多精确，仅前7位（-0.000119）是正确的，其余均不可靠。

这合理吗？我不确定如何处理符号位（+或-），这是否会导致正确位数变为(-0.00011)？

示例2 #

x = 9876.34f0
sqrt(x) - sqrt(x + 1)

Output: -0.005027771f0

我的解法：
此处使用单精度标准（由“f”标识），有8个可用位数。从计算机角度看，x近似为(9.87634×10³)。难以确定a=sqrt(x)和b=sqrt(x+1)在计算机中的存储形式。估算可知，a=sqrt(9.87634×10³)=9.87634^(1/2)×10(3/2)，因此a∈(10¹,10²)；b=sqrt(x+1)=sqrt(9.87634×10³+1.0×10⁰)=sqrt(9.87734×10³)=9.87734^(1/2)×10(3/2)，a和b均处于(3.×10¹,3.×10²)区间内。从此处开始我难以推进……我的方法是查看输出(-0.005027771f0)，发现包含3个零（小数点前后），因此判断正确位数为8-3=5位，即计算机输出的前5位(-0.0050)正确，其余不可靠。

我认为此解法不正确，因为它忽略了从人类视角看的a-b=(9.87634^(1/2)×10(3/2))-(9.87734^(1/2)×10(3/2))的减法运算，而这在第一个示例中帮我得到了正确的零的数量。

更新（2025年1月27日） #

首先感谢各位的解答。我认为自己正朝着正确方向前进。基于现有评论，我制作了一个带注释的Julia笔记本示例（HMDCIRO.jl），相关PDF文档比README更适合作为参考。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者L. Perasolo