线性ODE系统解的增长/衰减下界估计（上三角非对角化矩阵情形）

嘿，这个问题提得很到位！咱们已经搞清楚了$D = \frac{|\mathbf{x}(t)|}{|\mathbf{x}_0|}$的上界，现在来拆解一下怎么找它的下界，尤其是你关注的上三角、非对角化矩阵的特殊情况。

首先先回顾问题背景：我们有线性微分方程组$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}$，初始条件$\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$，解是$\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}_0$，现在要给$D$找一个下界。

通用下界思路：利用矩阵指数的可逆性 #

不管A是什么样的矩阵（其实矩阵指数$e^{{At}$总是可逆的，逆是$e}{-At}$），我们可以用范数的基本性质推导：

对于任意可逆线性算子$T$，有$|T\mathbf{v}| \geq \frac{|\mathbf{v}|}{|T^{-1}|}$

把$T$换成$e^{At}$，$\mathbf{v}$换成$\mathbf{x}_0$，就能得到：
$$|\mathbf{x}(t)| = |e^{At}\mathbf{x}_0| \geq \frac{|\mathbf{x}_0|}{|e^{-At}|}$$
两边除以$|\mathbf{x}_0|$，直接得到$D$的通用下界：
$$D \geq \frac{1}{|e^{-At}|}$$

针对上三角矩阵的精细化估计 #

因为A是上三角矩阵，它的特征值就是对角线上的元素，记为$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$，它们的实部是$\text{Re}(\lambda_i)$。同时，上三角矩阵的指数$e^{At}$也是上三角矩阵：

• 对角元是$e^{\lambda_i t}$；
• 非对角元是关于t的多项式乘以对应对角元的指数函数（比如单个Jordan块的上三角矩阵，$e^{{At}$的第i行j列元素是$\frac{t}{j-i}}{(j-i)!}e^{\lambda_i t}$）。

1. 一般上三角矩阵（含非零对角元）

对于$e^{{-At}$，它同样是上三角矩阵，对角元是$e}{-\lambda_i t}$，非对角元是多项式乘以$e^{-\lambda_i t}$。我们可以对$|e^{-At}|$做更紧的估计：
$$|e^{-At}| \leq C(t) \cdot e^{\max_i \text{Re}(-\lambda_i) t}$$
这里$C(t)$是一个关于t的多项式（次数不超过A的Jordan块最大阶数减1），而$\max_i \text{Re}(-\lambda_i) = -\min_i \text{Re}(\lambda_i)$，代入通用下界公式就能得到：
$$D \geq \frac{1}{C(t)} \cdot e^{\min_i \text{Re}(\lambda_i) t}$$

这个下界的意义是：当t足够大时，$D$的增长/衰减速度由A的特征值中实部最小的那个主导，多项式因子$C(t)$只会影响有限时间内的下界大小，不会改变长期的增长趋势。

2. 严格上三角矩阵（幂零矩阵，所有特征值为0）

这种情况更特殊，A是幂零的（存在k使得$A^{k=0$），所以$e}{At}$是一个多项式矩阵（指数级数到$A^{k-1}t{k-1}$项就停止了）：
$$e^{At} = I + At + \frac{A^2 t^2}{2!} + ... + \frac{A^{k-1}t{k-1}}{(k-1)!}$$

我们可以分情况看：

• 如果$\mathbf{x}0$的第一个非零分量是第m个分量（即$\mathbf{x}0=(0,...,0,x{m0},...,x{n0})^T$，$x_{m0}≠0$），那么$\mathbf{x}(t)$的第m个分量始终等于$x_{m0}$（因为严格上三角矩阵的幂不会影响对角位置），所以$|\mathbf{x}(t)| \geq |x_{m0}|$，对应的下界就是：
  $$D \geq \frac{|x_{m0}|}{|\mathbf{x}_0|}$$
  这是一个常数下界，和t无关。
• 如果$\mathbf{x}0$的非零分量都在更靠后的位置，比如前m个分量为0，第m+1个分量非零，那么$\mathbf{x}(t)$的第m+1个分量保持不变，同样能得到常数下界；如果$\mathbf{x}0$被A多次作用后才变为0，比如$A^{{k-1}\mathbf{x}_0≠0$但$A}k\mathbf{x}0=0$，那么$\mathbf{x}(t)$的某些分量会是t的多项式，这时候下界会随t线性/多项式增长（比如2x2严格上三角矩阵的例子：$\mathbf{x}(t)=(x{10}+t x{20}, x{20})^T$，当$x_{20}≠0$时，$|\mathbf{x}(t)|$随t线性增长，下界可以取$\frac{|x_{20}|}{2|\mathbf{x}_0|}t$当t足够大时）。

举个具体例子验证 #

比如取3x3严格上三角矩阵：
$$A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
对应的矩阵指数是：
$$e^{At} = \begin{pmatrix}1 & t & \frac{t^2}{2} \ 0 & 1 & t \ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
假设初始条件$\mathbf{x}_0=(1,0,0)^{T$，那么$\mathbf{x}(t)=(1,t,\frac{t}2}{2})^T$，$|\mathbf{x}(t)|=\sqrt{1 + t^2 + \frac{t^4}{4}}$，$|\mathbf{x}_0|=1$，所以$D=\sqrt{1 + t^2 + \frac{t^{4}{4}}$，下界可以取$\frac{t}2}{4}$（当t≥2时，这个下界是有效的），完全符合我们之前说的多项式增长下界。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者confusion