证明正定矩阵子矩阵的逆矩阵等式

Hey，你已经找对方向了！分块矩阵分解确实是解决这类问题的核心思路，不过其实我们可以用更直接的方式——利用**逆矩阵的定义（两个矩阵相乘等于单位矩阵则互为逆）**来推导，或者顺着你已经写的分解继续往下走，两种方法我都给你讲讲：

方法一：直接利用$AA^{-1}=I$的分块等式推导 #

首先，我们把原矩阵$A$也做对应分块（和$A^{-1}$的分块形式匹配）：
设$$A = \begin{bmatrix} a & \gamma^T \\ \gamma & \tilde{A} \end{bmatrix}$$
其中$a$是标量，$\gamma$是$(n-1)$维列向量，$\tilde{A}$就是题目中说的$(n-1) \times (n-1)$子矩阵（因为$A$正定，所以$\tilde{A}$也正定可逆）。

根据逆矩阵的定义，$AA^{-1} = I_n$，代入分块形式展开：
$$
\begin{bmatrix} a & \gamma^T \\ \gamma & \tilde{A} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta^T \\ \beta & \Delta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & I_{n-1} \end{bmatrix}
$$

分块乘法会得到4个等式，我们重点看和$\tilde{A}$相关的后两个：

1. 第二行第一块：$\gamma\alpha + \tilde{A}\beta = 0$
2. 第二行第二块：$\gamma\beta^T + \tilde{A}\Delta = I_{n-1}$

从第一个等式解出$\gamma$：
$$\gamma\alpha = -\tilde{A}\beta \implies \gamma = -\frac{1}{\alpha}\tilde{A}\beta$$

把这个$\gamma$代入第二个等式：
$$
\left(-\frac{1}{\alpha}\tilde{A}\beta\right)\beta^T + \tilde{A}\Delta = I_{n-1}
$$

提取$\tilde{A}$（利用矩阵乘法对加法的分配律）：
$$
\tilde{A}\left(\Delta - \frac{\beta\beta^T}{\alpha}\right) = I_{n-1}
$$

因为$\tilde{A}$可逆，两边同时左乘$\tilde{A}^{-1}$，直接得到结论：
$$
\tilde{A}^{-1} = \Delta - \frac{\beta\beta^T}{\alpha}
$$
完美，这就完成证明了！

方法二：顺着你的分块分解思路继续推导 #

你已经写出了$A^{-1}$的分解式：
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix} I & O \\ \beta/\alpha & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta^T \\ O & \Delta - \beta\beta^T/\alpha \end{bmatrix}
$$

现在我们分别求这两个分块矩阵的逆：

1. 对于单位下三角矩阵$\begin{bmatrix} I & O \\ \beta/\alpha & I \end{bmatrix}$，它的逆只需把左下角元素取负：
   $$
   \begin{bmatrix} I & O \\ \beta/\alpha & I \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & O \\ -\beta/\alpha & I \end{bmatrix}
   $$
2. 对于上三角分块矩阵$\begin{bmatrix} \alpha & \beta^T \\ O & C \end{bmatrix}$（这里$C = \Delta - \beta\beta^T/\alpha$），它的逆是分块上三角矩阵：
   $$
   \begin{bmatrix} \alpha & \beta^T \\ O & C \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \alpha^{-1} & -\alpha^{-1}\betaT C^{-1} \\ O & C^{-1} \end{bmatrix}
   $$

因为$A$是$A^{-1}$的逆，所以：
$$A = \left(\begin{bmatrix} I & O \\ \beta/\alpha & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \beta^T \\ O & C \end{bmatrix}\right)^{-1} = \begin{bmatrix} \alpha & \beta^T \\ O & C \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} I & O \\ \beta/\alpha & I \end{bmatrix}^{-1}$$

计算这个乘积的右下角分块（也就是$\tilde{A}$），会得到$\tilde{A} = C^{-1}$，即$C = \tilde{A}^{{-1}$，代入$C$的定义后，同样得到$\tilde{A}}{-1} = \Delta - \frac{\beta\beta^T}{\alpha}$，和方法一结论一致。

两种方法都能得到结果，方法一更直接，不容易出错，建议优先用这种方式推导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sonamu