关于使用勒让德、雅可比或克罗内克符号表示五元平方和函数r₅(N)的非递归显式公式的技术问询

先做个基础定义：我把 $S_k(N)={(a_1,\cdots,a_k)\mid N=\sum_1^k a_i^2}$ 看作 $\mathbb Z^k$ 的子集，这个集合的元素个数 $|S_k(N)|$ 就是平方和计数函数 $r_k(N)$。

我们已经有不少成熟的非递归显式公式，比如：
$$
\begin{align*}
r_2(N)&=4\sum_{\substack{d\mid N\2\not\mid d}}(-1)^{\frac{(d-1)}2}\
r_4(N)&=8\sum_{\substack{d\mid N\4\not\mid d}}d=8\sigma(N)-32\chi_{\mathbb N}\left(\frac N4\right)\cdot\sigma\left(\frac N4\right)\
r_6(N)&=4\sum_{d\mid N}d^2\left(4\left(-4\mid\frac Nd\right)-\left(-4\mid d\right)\right)\
r_8(N)&=16\sum_{d\mid N}(-1)^{N-d}d3
\end{align*}
$$
这里的 $(X\mid Y)$ 指的是克罗内克符号。

不过我翻了不少资料，一直找不到 $r_5(N)$ 的非递归显式公式。

目前我只找到一个基于勒让德符号的递归显式公式：假设 $N=2^{\lambda\cdot\prod_{p}p}{\lambda_p}$，其中 $N'$ 是 $N$ 的无平方因子部分，先定义一个辅助函数：
$$
\epsilon_5(N')=\begin{cases}
0&N'\equiv1\pmod8\
\frac{16}{7}&N'\equiv5\pmod8\
4&\text{其他情况}
\end{cases}
$$
对应的递归公式如下：
$$
r_5(N)=r_5(N')\left[\frac{2^{{3\lfloor\frac\lambda2\rfloor+3}-1}{7}-\epsilon_5(N')\frac{2}{3\lfloor\frac\lambda2\rfloor}-1}{7}\right]\times\prod_p\left[\frac{2^{3\lfloor\frac{\lambda_p}2\rfloor+3}-1}{7}-p\left(\frac {N'}{p}\right)\frac{2^{3\lfloor\frac{\lambda_p}2\rfloor+3}-1}{7}\right]
$$

但这个公式计算任意 $N$ 的 $r_5(N)$ 实在太繁琐，不是我想要的方向——除非能找到 $N$ 为无平方因子时 $r_5(N)$ 的直接表达式。想问问有没有其他方法，或者有没有基于勒让德、雅可比或克罗内克符号的非递归显式公式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user980971