关于阶乘无穷乘积等式的数学归纳法证明求助
Hey there! 你已经完成了基础情况验证和归纳假设的设定，做得很棒！在归纳步骤里处理无穷乘积确实有点棘手，但你完全可以把$(k+1)$移到乘积里面（因为我们面对的是收敛的无穷乘积，常数和乘积运算可以交换顺序）。下面一步步帮你梳理：
首先回顾你已经写好的归纳步骤开头：
$$(k+1)! = (k+1)k! = (k+1)\prod_{i=1}{\infty}{\left[\left(\frac{i+1}{i}\right)k\frac{i}{k+i}\right]}$$
正如你猜测的，我们可以把常数$(k+1)$整合进乘积的每一项中：
$$= \prod_{i=1}^{\infty}{\left[(k+1) \cdot \left(\frac{i+1}{i}\right)^k \cdot \frac{i}{k+i}\right]}$$
我们的目标是把这个乘积转化为对应$k+1$的形式：
$$\prod_{i=1}{\infty}{\left[\left(\frac{i+1}{i}\right){k+1}\frac{i}{(k+1)+i}\right]}$$
与其直接尝试重新排列每一项，不如换个更巧妙的思路：计算$k+1$对应的乘积和$k$对应的乘积的比值。我们记：
$$P(n) = \prod_{i=1}{\infty}{\left[\left(\frac{i+1}{i}\right)n\frac{i}{n+i}\right]}$$
根据归纳假设，$P(k)=k!$，我们需要证明$P(k+1)=(k+1)!=(k+1)P(k)$，也就是要证明$\frac{P(k+1)}{P(k)}=k+1$。
先逐项计算这个比值：
$$\frac{P(k+1)}{P(k)} = \prod_{i=1}^{\infty} \frac{\left(\frac{i+1}{i}\right){k+1}\frac{i}{k+1+i}}{\left(\frac{i+1}{i}\right)k\frac{i}{k+i}}$$
化简每一项的分式：
- 分子分母的$\left(\frac{i+1}{i}\right)^k$可以抵消，剩下$\frac{i+1}{i}$
- 分子分母的$i$项抵消
- 剩下的部分是$\frac{k+i}{k+1+i}$
所以比值可以改写为：
$$\frac{P(k+1)}{P(k)} = \prod_{i=1}^{\infty} \left( \frac{i+1}{i} \cdot \frac{k+i}{k+1+i} \right)$$
我们可以把它拆成两个独立的无穷乘积（两者都是收敛的，所以拆分合法）：
$$= \left( \prod_{i=1}^{\infty} \frac{i+1}{i} \right) \cdot \left( \prod_{i=1}^{\infty} \frac{k+i}{k+1+i} \right)$$
现在计算它们的部分乘积（取前$N$项），再求$N\to\infty$时的极限：
第一个乘积的部分项：
$$\prod_{i=1}^N \frac{i+1}{i} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \dots \cdot \frac{N+1}{N} = N+1$$
这是经典的望远镜乘积，中间所有项都会抵消。第二个乘积的部分项：
$$\prod_{i=1}^N \frac{k+i}{k+1+i} = \frac{k+1}{k+2} \cdot \frac{k+2}{k+3} \cdot \dots \cdot \frac{k+N}{k+N+1} = \frac{k+1}{k+N+1}$$
同样是望远镜乘积，中间项全部抵消。
把这两个部分乘积相乘：
$$(N+1) \cdot \frac{k+1}{k+N+1} = (k+1) \cdot \frac{N+1}{k+N+1}$$
当$N\to\infty$时，$\frac{N+1}{k+N+1}$的极限是1，所以：
$$\lim_{N \to \infty} (k+1) \cdot \frac{N+1}{k+N+1} = (k+1) \cdot 1 = k+1$$
既然$\frac{P(k+1)}{P(k)}=k+1$，我们可以整理得到：
$$P(k+1) = (k+1)P(k) = (k+1)k! = (k+1)!$$
这正是归纳步骤需要证明的结论！这里的关键技巧是用乘积的比值来推导，而不是强行把常数塞进每一项，这样更容易发现望远镜乘积的规律。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fynn Z.
