关于迭代序列$x_k = f(x_{k-1})$的局部收敛性问题咨询

问题描述 #

设$f:\mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{n}$，对任意初始点$x_{0} \in \mathbb{R}^n$，我们可以生成迭代序列：
$$x_{k} = f(x_{k-1}) \quad (k \geq 1)$$
如果存在点$a \in \mathbb{R}^n$满足$\lim\limits_{ x \to a }f(x) = a$，请问是否一定存在$a$的某个开邻域$N$，以及某个$x_{0} \in N$，使得$\lim\limits_{ k \to \infty }x_{k} = a$？

我的思考与疑惑 #

我之所以关注这个问题，是因为我原本想直接对迭代式$x_{k} = f(x_{k-1})$两边取极限来求解序列的极限，但这种操作的前提是序列$x_k$本身是收敛的，所以就想到了这个更基础的收敛性问题。

我已经梳理出几个相关的情况：

• 如果$f$在$a$点连续，那这个结论显然成立——直接取$x_0=a$就行，此时序列的每一项都是$a$，自然收敛到$a$。
• 如果把条件改成“$x_0 \in N \setminus {a}$”（即要求初始点不能是$a$本身），那取$f$为恒等映射的话，结论就不成立了：只要$x_0≠a$，序列就会一直停留在$x_0$，永远不会收敛到$a$。

但我现在想搞清楚的是，在原问题的表述下（只要存在某个$x_0\in N$使得序列收敛到$a$即可），这个结论是否在一般情况下都成立？

这个问题应该和动力系统的相关概念有关，但我除了一门基础的ODE课程外，没有太多这方面的经验。我也查阅过一些“吸引点但不稳定性”的例子，但似乎没能帮我解决这个疑惑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者patchouli