关于Evans《偏微分方程》中线性、半线性、拟线性PDE定义的时间导数归类疑问

嘿，这个问题问得特别戳痛点——我刚读Evans这本经典的时候，也纠结过好久这个时间变量的处理！其实核心逻辑很简单，咱们一步步理清楚：

首先，Evans在书里特意把时间$t$和空间变量$x$分开标注，只是因为很多常见的PDE（比如热方程、波动方程这类演化方程）里，时间变量有特殊的“单向演化”性质，和空间变量的地位不一样，但在归类方程类型的时候，完全可以把$t$当成一个额外的空间维度，也就是把$(t, x_1, x_2, ..., x_n)$看作$\mathbb{R}^{n+1}$中的一个整体变量。这样一来，时间导数$u_t$就变成了这个高维空间里的一阶偏导数，对应多重指标$\alpha=(1, 0, 0, ..., 0)$（第一个分量对应t方向），完全可以套进Evans给出的四类定义里。

咱们拿你举的例子来具体套一下：
$$ u_t + \sum_{i=1}^{n} b^i u_{x_i} = 0 $$
这个方程的最高阶导数是1阶，所有最高阶导数（$u_t$和各个$u_{x_i}$）的系数都是给定的函数（这里$b^i$如果是已知函数的话），而且方程是线性组合的形式，没有对导数的非线性项，同时右端$f\equiv0$，所以完全符合Evans定义(i)里的线性齐次PDE——对应形式$\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}(x,t)D^{\alpha} u = f(x,t)$，这里$k=1$，$a_{(1,0,...,0)}=1$，$a_{(0,...,1,...,0)}=b^i$（第i+1个位置是1），其余系数为0，$f\equiv0$。

再回头看Evans那段容易让人困惑的说明：

Throughout $x \in U$, where $U$ is an open subset of $\mathbb{R}^n$, and $t \geq 0$. Also, $Du = D_x u = (u_{x_1},\ldots,u_{x_n})$ denotes the gradient of $u$ with respect to the spatial variable $x = (x_1,\ldots,x_n)$. The variable $t$ always denotes time.

他这里只是在符号上区分了空间梯度$D_xu$和全梯度，方便后续讨论演化方程时聚焦空间导数的操作，但这绝不意味着时间导数要被排除在方程类型的归类之外——只要把时间导数当作普通的偏导数，按照多重指标的规则纳入求和，原来的四类定义就完全适用。

总结一下：时间导数在归类时和空间导数没有本质区别，只是Evans为了后续讨论演化方程的方便，在符号上单独标注了t，但套定义的时候把t当成额外的空间维度就行啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Leonidas