验证当1≤p<∞时ℓ^p为向量空间的证明思路是否正确

你的证明思路完全正确，逻辑严谨且覆盖了向量空间定义的所有核心要求，每一步的推导都合理到位。下面我把整个内容用规范的Markdown格式重新梳理，同时补充一点细节让证明的严谨性更突出：

前置定义回顾 #

首先我们明确基础概念：
给定实数 $p \in [1, \infty)$，标量序列 $x=(x_n){n\in\mathbb{N}}$ 的$p$-范数定义为：
$$
|x|p := \left(\sum{n=1}^{{\infty}|x_n|}p\right)^{1/p} \in [0, \infty]
$$
若 $|x|p < \infty$，则称序列$x$是**$p$-可和的**。所有$p$-可和标量序列的集合记为：
$$
\ell^p = \ell^p(\mathbb{N}) := \left{(x_n){n\in\mathbb{N}} \mid x_n \in \mathbb{K}, \sum{n=1}^{{\infty}|x_n|}p < \infty\right}
$$
其中$\mathbb{K}$为基础数域（$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$）。

向量空间公理的逐一验证 #

要证明$\ell^p$是向量空间，只需验证它满足向量空间的4条核心公理（结合律、交换律等由数域性质自然满足，这里重点验证封闭性与特殊元素存在性）：

1. 加法封闭性 #

设$x=(x_n), y=(y_n) \in \ell^{p$，即$\sum_{n=1}}{\infty}|x_n|^p < \infty$且$\sum_{n=1}^{{\infty}|y_n|}p < \infty$。令$z=(z_n)$，其中$z_n = x_n + y_n$（显然$z_n \in \mathbb{K}$），我们需要证明$\sum_{n=1}^{{\infty}|z_n|}p < \infty$。

利用三角不等式$|x_n + y_n| \leq |x_n| + |y_n|$，两边取$p$次方后，关键的一步是：
$$
(|x_n| + |y_n|)^p \leq 2^p(|x_n|p + |y_n|^p)
$$
注：这个不等式的合理性可以通过分情况验证：若$|x_n| \geq |y_n|$，则$(|x_n|+|y_n|)^p = |x_n|^{p\left(1+\frac{|y_n|}{|x_n|}\right)}p \leq |x_n|^p(1+1)p = 2^p|x_n|p$；同理若$|y_n| \geq |x_n|$，可得$(|x_n|+|y_n|)^p \leq 2^p|y_n|p$，合并两种情况就得到上述不等式。

因此：
$$
\sum_{n=1}^{{\infty}|z_n|}p \leq \sum_{n=1}^{\infty}2p(|x_n|^p + |y_n|^p) = 2^{p\left(\sum_{n=1}}{\infty}|x_n|^p + \sum_{n=1}^{{\infty}|y_n|}p\right)
$$
由于右边两个级数都收敛，故$\sum_{n=1}^{{\infty}|z_n|}p < \infty$，即$z \in \ell^p$，加法封闭性得证。

2. 标量乘法封闭性 #

设$x=(x_n) \in \ell^p$，$\alpha \in \mathbb{K}$，令$y=(\alpha x_n)$（显然$y_n \in \mathbb{K}$）。计算级数：
$$
\sum_{n=1}^{{\infty}|y_n|}p = \sum_{n=1}^{\infty}|\alpha x_n|^p = |\alpha|^p\sum_{n=1}{\infty}|x_n|^p
$$
因为$x \in \ell^{p$，$\sum_{n=1}}{\infty}|x_n|^p < \infty$，而$|\alpha|^p$是有限常数，故右边级数收敛，即$y \in \ell^p$，标量乘法封闭性得证。

3. 零元素存在性 #

考虑零序列$0=(0,0,0,\dots)$，显然所有项都属于$\mathbb{K}$，且：
$$
\sum_{n=1}^{\infty}|0|p = 0 < \infty
$$
故$0 \in \ell^p$，且对任意$x \in \ell^p$，有$x + 0 = x$，零元素存在性得证。

4. 加法逆元存在性 #

对任意$x=(x_n) \in \ell^p$，令$y=(-x_n)$（显然$y_n \in \mathbb{K}$），计算级数：
$$
\sum_{n=1}^{{\infty}|y_n|}p = \sum_{n=1}^{{\infty}|-x_n|}p = \sum_{n=1}^{{\infty}|x_n|}p < \infty
$$
故$y \in \ell^p$，且$x + y = 0$，加法逆元存在性得证。

结论 #

由于$\ell^p$满足向量空间的所有核心公理，因此当$1 \leq p < \infty$时，$\ell^p$是一个向量空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lely