圆盘内两类距离随机变量的CDF与PDF求解问询

嘿，我来一步步帮你拆解这个问题哈！首先咱们得先明确随机变量X的分布——因为X是半径为R的圆盘内均匀随机选取的点到圆心的距离，这是后续计算的基础。

第一步：先确定X的CDF和PDF #

对于圆盘内的均匀分布，任意点落在半径为x的同心圆内的概率，就是小圆面积和大圆面积的比值：

• X的CDF（累积分布函数）：
  $$F_X(x) = P(X \leq x) = \begin{cases}
  0, & x < 0 \
  \frac{x^2}{R2}, & 0 \leq x \leq R \
  1, & x > R
  \end{cases}$$
• X的PDF（概率密度函数）：对CDF求导可得
  $$f_X(x) = \begin{cases}
  0, & x < 0 \text{ 或 } x > R \
  \frac{2x}{R^2}, & 0 \leq x \leq R
  \end{cases}$$

第二步：求解d=|X - a|的CDF（F(d)） #

我们需要计算 $F(d) = P(|X - a| \leq d)$，也就是X落在区间 $[a-d, a+d]$ 内的概率。这里要根据d的取值范围分情况讨论（毕竟X的取值被限制在[0, R]内，且0 < a < R）：

情况1：d < 0

距离不可能为负，所以 $F(d) = 0$

情况2：$0 \leq d \leq \min(a, R - a)$

这时候区间 $[a-d, a+d]$ 完全落在X的有效范围[0, R]内，直接用X的CDF计算差值：
$$F(d) = F_X(a+d) - F_X(a-d) = \frac{(a+d)^2 - (a-d)^2}{R2} = \frac{4ad}{R^2}$$

情况3：当 $a < R/2$ 时，$a < d \leq R - a$

此时 $a - d < 0$，X的下限只能取0，所以：
$$F(d) = F_X(a+d) - F_X(0) = \frac{(a+d)^2}{R2}$$

情况4：当 $a > R/2$ 时，$R - a < d \leq a$

此时 $a + d > R$，X的上限只能取R，所以：
$$F(d) = F_X(R) - F_X(a-d) = 1 - \frac{(a-d)^2}{R2}$$

情况5：$d \geq \max(a, R - a)$

这时候所有可能的X取值都满足 $|X - a| \leq d$，所以 $F(d) = 1$

第三步：求解d的PDF（f(d)） #

对CDF分段求导即可得到PDF：
$$f(d) = \begin{cases}
0, & d < 0 \
\frac{4a}{R^2}, & 0 \leq d \leq \min(a, R - a) \
\frac{2(a+d)}{R^2}, & a < d \leq R - a \text{（仅当 } a < R/2 \text{ 时存在）} \
\frac{2(a-d)}{R^2}, & R - a < d \leq a \text{（仅当 } a > R/2 \text{ 时存在）} \
0, & d > \max(a, R - a)
\end{cases}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gauhoc