顶点算子代数中L₋₁v=0蕴含v∈V₀的证明问询

大家好，我最近在做顶点算子代数相关的习题时遇到了瓶颈，想向各位请教一下思路。先把相关的定义和已知背景整理出来，方便大家理解问题：

相关定义（为完整性列出） #

顶点代数的定义 #

一个顶点代数由以下部分构成：

• （状态空间）向量空间 $V$；
• （真空向量）向量 $|0\rangle\in V$；
• （平移算子）线性算子 $T:V\to V$；
• （顶点算子）线性映射 $$Y(\cdot,v):V\to \text{End}V[[z^{\pm 1}]];$$ 对每个 $A\in V$，对应一个场 $$Y(A,z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}} A_{(n)}z^{-n-1}$$ 作用在 $V$ 上。

满足以下公理：

• （真空公理）$Y(|0\rangle,z)=\text{Id}V$；此外，对任意 $A\in V$，$Y(A,z)|0\rangle\in V[[z]]$，在 $z=0$ 处有良定义，且 $Y(A,z)|0\rangle|{z=0}=A$。
• （平移公理）对任意 $A\in V$，$$[T,Y(A,z)]=\partial_z Y(A,z)$$ 且 $T|0\rangle=0$。
• （ locality公理）所有场 $Y(A,z)$ 两两局部。

顶点算子代数的定义 #

若顶点代数 $V=\bigoplus_{n\in \mathbb{Z}} V_n$，且存在特殊向量 $\omega\in V$（称为共形向量），使得 $Y(\omega,z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} L_n z^{-n-2}$，其中 $L_n$ 满足Virasoro关系：
$$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{m^3-m}{12}c\text{Id}_V.$$
同时满足：

• $V_n={v\in V:L_0v=nv}$；
• 当 $n$ 足够小时，$\dim V_n=0$；
• $Y(L_{-1}v,z)=\partial Y(v,z)$，即 $T=L_{-1}$。

已知前置结论（来自之前的习题） #

• $Y(|0\rangle,z)=\text{Id}$
• $|0\rangle\in V_0$
• $\omega\in V_2$
• 对 $n\geq -1$，$L_n |0\rangle =0$
• $(L_{-1}v)n=-n v{n-1}$

我的问题与尝试思路 #

我需要证明的结论是：若 $L_{-1}v=0$，则 $v\in V_0$（也就是 $L_0v=0$）。

我一开始的思路是利用Virasoro代数的对易关系，找能关联 $L_0v$ 和 $L_{-1}v$ 的表达式：

1. 从Virasoro对易式 $[L_1,L_{-1}]=2L_0$，代入 $v$ 可得：
   $$2L_0v = L_1(L_{-1}v) - L_{-1}(L_1v)$$
   因为已知 $L_{-1}v=0$，所以右边化简为 $-L_{-1}(L_1v)$，但我没法确定 $L_1v$ 的具体性质，这条路径暂时走不通。
2. 另一个对易式 $[L_0,L_{-1}]=L_{-1}$，代入 $v$ 得到：
   $$L_{-1}v = L_0(L_{-1}v) - L_{-1}(L_0v)$$
   同样因为 $L_{-1}v=0$，等式变为 $0 = -L_{-1}(L_0v)$。但这里就算 $v\in V_1$（即 $L_0v=v$），$L_{-1}(L_0v)=L_{-1}v=0$ 依然成立，所以这个式子没法直接推出 $L_0v=0$。

我现在想不到怎么结合顶点算子代数的分次结构、真空公理或者其他性质来推进证明，想问问各位有没有什么提示或者思路可以分享？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sheaf keef