关于无限Gram矩阵的谱及希尔伯特-波利亚猜想相关问题的技术问询

我最近对自然数上的正定核特别感兴趣，还整理了一批附带证明的核例子。先跟大家梳理一下希尔伯特空间 $H:=l_2(\mathbb{N})$ 上的自伴算子 $O$ 和自然数上正定核 $k$ 之间的核心关联：

从自伴算子到正定核 #

设 $H:=l_2(\mathbb{N})$ 是复数域上的序列构成的希尔伯特空间。如果我们有一个算子 $O=R^R$（其中 $R$ 是有界线性算子），那么 $O$ 是自伴的。记空间的标准正交基为 $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$，令 $\phi(n):= R(e_n)$，则可以推导得到：
$$\left<O(e_m),e_n\right> = \left<R^R(e_m),e_n \right> = \left<R(e_m),R(e_n)\right> = \left < \phi(m),\phi(n) \right> =: k(m,n)$$
左边的表达式对应一个无限矩阵的元素，这个矩阵就是 $(k(m,n))$；而右边则定义了自然数上的一个正定核 $k$。

从正定核到自伴算子（更具研究价值的反向关联） #

反过来，给定自然数上的任意一个正定核 $k$——比如常见的例子：$k(a,b) = \gcd(a,b)$、$\min(a,b)$、$\frac{\min(a,b)}{\max(a,b)}$、$\frac{\gcd(a,b)}{ab}$——根据Moore-Aronszajn定理，一定存在一个特征映射：
$$\phi: \mathbb{N} \rightarrow F$$
满足：
$$\left< \phi(a), \phi(b) \right>F = k(a,b)$$
我们通过 $R(e_n) := \phi(n)$ 定义算子 $R$，再令 $O = R^* R$，这样 $O$ 就是与正定核 $k$ 对应的自伴算子，它对应的无限矩阵就是 $(k(i,j)){1 \le i,j \le \infty}$。

我认为这就是自然数上的正定核随处可见的原因——比如在abc猜想的表述中就出现了这类核：
$$K(a,b) := \frac{2(a+b)}{\gcd(a,b)\operatorname{rad}\left ( \frac{ab(a+b)}{\gcd(a,b)^3}\right )^2} $$
另外，椭圆曲线领域也能看到它们的身影。

我想请教的两个问题 #

• 假设 $O$ 是希尔伯特-波利亚猜想中提到的那个算子，它的存在性是如何推导出黎曼假设的？
• 脱离希尔伯特-波利亚猜想的语境来看，算子 $O$ 的谱是否等于有限Gram矩阵 $O_N = (k(m,n)){1\le m,n\le N}$ 的谱当 $N\rightarrow\infty$ 时的极限？用符号表示就是：
  $$\operatorname{spec}(O) =^? \lim{N\rightarrow\infty} \operatorname{spec}(O_N) $$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Orges Leka