关于顶点对应的袋子子图均为路径的树分解的若干技术问题

先给不熟悉的朋友快速梳理下基础概念：图$G$的树分解是一棵树$T$，$T$里的每个顶点被称为「袋子」，每个袋子会包含$G$的若干顶点，同时必须满足三个核心性质：

• $G$的每个顶点都至少出现在$T$的一个袋子中；
• $G$的每条边$vw$，至少存在一个袋子同时包含顶点$v$和$w$；
• 对于$G$的任意顶点$v$，所有包含$v$的袋子在$T$中构成的子图是连通的。

树分解衍生出一个非常实用的图参数——树宽，它的定义是：在所有可能的树分解中，最大袋子的顶点数的最小值。

我的核心疑问是给树分解加一个额外限制：正常情况下，每个顶点对应的袋子子图（也就是$T$中包含该顶点的所有袋子构成的子图）必然是树（因为连通且$T$本身是树），但如果要求所有顶点对应的袋子子图都必须是路径，我有三个具体问题：

• 是否存在一些图，根本不存在满足这个限制的树分解？
• 对于存在这类分解的图，这种受限分解下的最小最大袋子大小（类似树宽的参数），会不会严格大于原图的正常树宽？
• 这种树分解的子类型有没有专门的名称？有没有学者对它做过研究？

目前收到的一个初步回答：

No, throw everything into the same bag.

备注：内容来源于stack exchange，提问作者V. Jackson