关于《Groups, Graphs and Trees》中从基本域构造群生成集定理的疑问

嘿，我来帮你拆解这两个疑问，咱们一步一步来理清楚～

首先先回顾一下定理的前提：$\Gamma$是连通图，$G$作用在$\Gamma$上，$F$是连通的基本域（满足闭集、覆盖$\Gamma$、极小性这三个条件）。

第一个疑问：为什么能找到${g_0F,...,g_nF}$这样的相邻相交序列？ #

咱们从图的连通性和基本域的定义出发：

1. 因为$\Gamma$是连通图，任意两个点之间都有一条路径相连。假设我们想找从$g_0F$到$g_nF$的序列，先在$g_0F$里取一个点$v_0$，在$g_nF$里取一个点$v_n$，它们之间肯定有一条路径$v_0 \to v_1 \to ... \to v_n$。
2. 基本域的第二个性质说${gF | g\in G}$覆盖了整个$\Gamma$，所以路径上的每个点$v_i$都属于某个$g_iF$（$g_i \in G$）。
3. 再看基本域的第一个性质：$F$是闭集（在图的拓扑里，闭集意味着如果一个点在集合里，那连接它的边和相邻点要么全在集合里，要么和其他闭集相交）。那路径上相邻的两个点$v_i$和$v_{i+1}$所在的$g_iF$和$g_{i+1}F$必然相交——不然这条连接它们的边就没法被覆盖了，毕竟边是连续的，总不能“跳”过某个基本域的像。
4. 最后，我们把序列里重复的$g_iF$去掉，就能得到一串不同的基本域像，满足相邻两个的交集非空。

第二个疑问：怎么知道集合$S$不是空集？ #

这里分两种情况讨论：

• 如果$G$是平凡群（只有单位元$e$），那$S$确实是空集，但这时候定理是成立的——平凡群的生成集本来就是空集，完全合理。
• 如果$G$是非平凡群，那必然存在某个$g \neq e$。咱们用反证法：假设$S$是空集，也就是对所有$g \neq e$，$gF$和$F$都不相交。那问题来了：
  1. 因为${gF}$覆盖$\Gamma$，而$F$和所有其他$gF$都不交，那$\Gamma$就会被拆成一堆不交的闭集${gF}$。但$\Gamma$是连通的，连通空间不能拆成两个以上不交的非空闭集的并——这就矛盾了！
  2. 或者换个更直观的角度：取$x \in F$，因为$g \neq e$，$g·x$肯定在某个$hF$里（覆盖性），也就是$x \in g^{-1}hF$。而$x \in F$，所以$F \cap g^{-1}hF \neq \emptyset$。如果$g^{-1}h \neq e$，那$g^{-1}h \in S$；如果$g^{-1}h = e$，那$h = g$，意味着$g·x \in gF$，也就是$gF$包含$g·x$，而$F$包含$x$，这时候如果$gF = F$，那$gF \cap F = F \neq \emptyset$，$g$自然属于$S$。

不管哪种情况，只要$G$是非平凡群，$S$就一定非空。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Or Kalifa