关于John Milnor论文中零伦映射到Sⁿ的延拓论证的疑问

嘿，我来帮你理清这个论证的思路！首先得抓住几个关键的拓扑性质，咱们一步步来：

1. 紧Hausdorff对的关键性质：你提到的$(X,A)$是紧偶，且紧包含Hausdorff，这意味着$A$是$X$的闭子集（紧子集在Hausdorff空间中必然是闭的）。而紧Hausdorff空间中的闭子集对$(A,X)$属于NDR对（邻域收缩核对），NDR对的核心特性就是满足同伦延拓性质（HEP）——这个性质会是我们解决问题的关键。

2. 零伦映射的定义转化：已知$f: \Delta^p \times A \to S^n$是零伦的，这等价于存在一个同伦$H: \Delta^p \times A \times [0,1] \to S^n$，使得：

   • $H(x,a,0) = f(x,a)$（同伦的起点就是原映射）
   • $H(x,a,1) = *$（同伦的终点是$S^n$上的某个定点，也就是常值映射）

3. 利用同伦延拓性质构造延拓：

   • 先考虑一个平凡的常值映射$g: \Delta^p \times X \to S^{n$，把整个$\Delta}p \times X$都映射到那个定点$*$。显然，$g$在$\Delta^p \times A$上的限制正好是$H(x,a,1)$。
   • 现在我们把同伦$H$“反向”看：定义$H'(x,a,t) = H(x,a,1-t)$，那么$H'(x,a,0) = g|_{\Delta^p \times A}$，$H'(x,a,1) = f(x,a)$。
   • 因为$(A,X)$是NDR对，$\Delta^{p$是紧可缩空间（不影响NDR性质），所以$\Delta}p \times A \subset \Delta^p \times X$仍然是NDR对，满足同伦延拓性质。这意味着我们可以把$H'$延拓成一个同伦$H'': \Delta^p \times X \times [0,1] \to S^n$，使得$H''(x,x',0) = g(x,x')$对所有$(x,x') \in \Delta^p \times X$成立，且$H''(x,a,t) = H'(x,a,t)$对所有$(x,a,t) \in \Delta^p \times A \times [0,1]$成立。
   • 最后，取$H''(-,-,1)$，这就是我们要找的延拓映射：它在$\Delta^p \times A$上等于$f$，且整个映射是连续的，定义在$\Delta^p \times X$上。

至于你提到的Tietze定理，它针对的是到$\mathbb{R}^{n$这类凸空间的延拓，而$S}n$不是凸空间，所以直接用Tietze确实行不通。而纤维化性质其实不需要，NDR对的同伦延拓性质已经足够解决这个问题啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者David E