光滑流形开集与流形同一点切空间等同性证明的两处疑问

我现在在做这么一个证明题：设$M$是光滑流形，$U$是$M$中的开集，要证明对任意$p\in U$，切空间$T_pM$可以和$T_pU$等同起来。

我参考的是Newman的《Semi-Riemannian Geometry》，书中给出了一个映射$\imath: T_pU\to T_pM$，定义为$\imath(v)(f)=v(f|_U)$，说很容易证明$\imath(v)$是切向量，且$\imath$是线性同构。不过到这里书里还没讲切空间的维度，只提过流形的维度，所以我不想用“同维数向量空间之间的单射就是同构”这个思路，打算直接证明$\imath$是单射+满射，结果卡在了两个地方：

1. 怎么证明$\imath(v)$是切向量？ #

要证明$\imath(v)$是切向量，就得验证它满足Leibniz法则：$\imath(v)(fg)=f(p)\imath(v)(g)+g(p)\imath(v)(f)$。我自己推的时候得到了这样的式子：
$$\imath(v)(fg)=v\big((fg)|_U\big)=v(f|_Ug|_U)=f|_U(p)v(g|_U)+g|_U(p)v(f|_U)=f|_U(p)\imath(v)(g)+g|_U(p)\imath(v)(f)$$
问题来了，最后我得到的是$f|_U(p)$和$g|_U(p)$，但Leibniz法则要求的是$f(p)$和$g(p)$，这一步该怎么衔接过去呢？

2. 怎么证明$\imath$是满射？ #

我有个大致思路，但不确定对不对：任取$v\in T_pM$，我想定义一个算子$u:C^{\infty(U)\to\mathbb{R}$，对于$C}\infty(U)$里的函数$f'$，让$u(f')=v(\tilde{f})$，这里$\tilde{f}$是用 bump function把$f'$延拓到整个$M$上的光滑函数，而且$\tilde{f}$在$p$的某个邻域$\tilde{U}\subseteq U$上和$f'$完全一致。

但验证$u$满足Leibniz法则的时候就卡壳了：
$$u(f'g')=v(\tilde{f}\tilde{g})=\tilde{f}(p)v(\tilde{g})+\tilde{g}(p)v(\tilde{f})=\tilde{f}(p)u(g')+\tilde{g}(p)u(f')$$
因为$\tilde{f}$只在$\tilde{U}$上和$f'$一致，不是整个$U$，我没法直接把$\tilde{f}(p)$换成$f'(p)$，也就没法得到Leibniz法则要求的$f'(p)u(g')+g'(p)u(f')$，这一步该怎么处理呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shirish