关于比例增长缺陷品场景下的高效非自适应分组测试方案及带噪声时测试效率的技术问询

假设我们有$n$个独立的伯努利随机变量$X_1,X_2,\dots,X_n$（可以理解为$n$个待测物品），每个变量的均值是$p\in(0,1)$——换句话说，每个物品是“阳性”（即$X_j=1$）的概率是$p$，阴性（$X_j=0$）的概率是$1-p$。

我们把测试定义为${1,2,\dots,n}$的一个子集：如果某个测试子集$t$里存在至少一个阳性物品，那么这个测试的结果就是1；否则结果是0。

现在给定一个误差容忍度$\epsilon\in(0,1)$，我们的目标是选择一组测试集合$T$，再设计一个基于这些测试结果的解码函数，输出一个向量$Y\in{0,1}^n$，要求在保证误判概率$P(Y\neq(X_1,X_2,\dots,X_n))\leq\epsilon$的前提下，让测试集合$T$的大小尽可能小。

当然，最直接的做法是逐个测试每个物品——也就是让$T={{1},{2},\dots,{n}}$，这样用$n$次测试就能完全准确地得到所有物品的状态，但我希望能找到更高效的方案，尤其是当$p$比较小的时候。

Chan等人在2011年的研究指出：如果阳性物品的数量固定为$d$，那么当$n\to\infty$时，我们只需要$\mathcal{O}(d\log(n))$次测试就能完成任务。这个结果比逐个测试更高效的前提是$d=\mathcal{o}\left(\frac{n}{\log(n)}\right)$（当$n\to\infty$时），但在我们的问题场景里，阳性物品数量的期望$\mathbb{E}(d)=pn$，这个方案可能反而不如逐个测试高效。

现在我有几个核心问题想请教：

• 在我们描述的这个问题场景中，针对某些特定的$p$值，有没有可能找到比逐个测试更高效的方案？哪怕测试数量依然是随着$n$线性增长的——比如当$n\to\infty$时，测试集合的大小$|T|\sim\alpha n$，其中$\alpha\in(0,1)$？
• 如果我们给测试加入实验噪声（比如每个测试结果有$q\in(0,1)$的概率出现错误），那这种情况下还能实现类似的高效测试吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matthew Barber