关于从指定gcd表达式中消去变量q的推导错误排查及正确化简方法咨询

是否可以从以下gcd表达式中消去变量$q$？
$$\gcd\left(a (e-gq),(q^2-d)g+(e-gq)(q-p)\right)$$

我自己尝试了以下步骤：

假设这个gcd的值为$m$，那么可以得到：
$$\frac{a(e-gq)}{n_1}=m \tag1$$
由此推导出：
$$q=\frac{ae-mn_1}{a g} \tag2$$
其中$n_1$是某个整数。

同时还有：
$$\frac{(q^2-d)g+(e-gq)(q-p)}{n_2}=m \tag3$$
这里$n_2$也是某个整数。把式(2)中的$q$代入式(3)后，我得到了：
$$a (e^2-d g^2)=m(n_2 a g+n_1 (e+g p)) \tag4$$

因此我得出结论：
$$\gcd\big(a (e-gq),(q^2-d)g+(e-gq)(q-p)\big)=\gcd\big(a (e-gq),a(e^2-d g^2)\big) \tag5$$

但这个结论似乎是错误的。我代入一组简单的值：$e=4,g=1,a=-3,d=17,q=5, p=4$后，发现结果不符合预期。

有没有人能指出我哪里出错了？正确的化简方法应该是什么？

谢谢。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者John Bull