池塘种群动态下，每日垂钓标记后第1000天已知存活鱼占比的数学建模求解

嗨，这个问题结合了种群动态和标记重捕的概率逻辑，确实很有挑战性，我来帮你拆解下数学建模的思路，一步步来：

先明确核心基础结论：种群期望数量恒定 #

首先看基础的种群变化规则：每天5%概率增5%、5%概率减5%、90%概率不变。我们可以计算第t天种群数量$N_t$的期望：

E[N_t | N_{t-1}] = 0.05×1.05N_{t-1} + 0.05×0.95N_{t-1} + 0.9×N_{t-1} = N_{t-1}

也就是说，种群的期望数量永远等于初始值（不管是你最初说的100，还是模拟里用的1000），这个结论是后续建模的核心前提。

用递归法计算「未被标记存活鱼」的期望数量 #

我们可以通过追踪「存活且从未被标记的鱼的期望数量」$A_t$，来反推已知存活鱼的占比。下面以你模拟里的初始种群1000为例，建立递归关系：

递归公式推导

每天的流程是「种群变化→垂钓标记」，我们分两步分析：

1. 种群变化阶段：
   • 5%概率种群减5%（变为950）：随机杀死5%的存活鱼，未被标记的鱼也会按比例减少，剩余未标记鱼期望为$0.95A_t$
   • 5%概率种群增5%（变为1050）：新增50条从未被标记的鱼，未标记鱼期望为$A_t + 50$
   • 90%概率种群不变：未标记鱼期望仍为$A_t$
2. 垂钓标记阶段：
   • 种群950时，钓10条，未标记鱼没被钓到的概率是$\frac{950-10}{950}$，剩余未标记鱼期望为$0.95A_t × \frac{940}{950} = 0.94A_t$
   • 种群1050时，钓10条，未标记鱼没被钓到的概率是$\frac{1050-10}{1050}$，剩余未标记鱼期望为$(A_t + 50) × \frac{1040}{1050}$
   • 种群1000时，钓10条，未标记鱼没被钓到的概率是$\frac{990}{1000}$，剩余未标记鱼期望为$0.99A_t$

把三个情况按概率加权合并，得到最终的递归公式：

A_{t+1} ≈ 0.05×0.94A_t + 0.05×(A_t+50)×(1040/1050) + 0.9×0.99A_t

整理后简化为：

A_{t+1} ≈ 0.9875A_t + 2.476

递归公式求解

这是一个线性非齐次递归，我们可以解出通项公式：

• 齐次解：$A_t^h = C×(0.9875)^{t-1}$（C为常数）
• 特解：设为常数K，代入递归式解得$K≈198.5$
• 结合初始条件$A_1=1000$（初始所有鱼都未被标记），得到完整通项：

A_t = 801.5×(0.9875)^{t-1} + 198.5

当t=1000时，$(0.9875)^{999}$趋近于0（因为底数小于1，指数极大），所以$A_{1000}≈198.5$。

计算已知存活鱼的期望占比 #

已知第1000天存活种群的期望数量是1000，所以已知存活鱼的期望数量为$1000 - 198.5 = 801.5$，对应的期望占比约为80.15%，和你模拟得到的84%左右的结果很接近，差异主要来自模拟的随机性以及我们用期望近似的简化处理。

关于「观察到X%的鱼的概率」 #

精确的解析概率公式非常难推导，因为涉及种群数量波动、标记事件、存活事件的联合随机性。不过我们可以用两种方式近似：

1. 正态近似：计算已知存活鱼数量的方差（可以通过建立方差的递归关系得到），然后用正态分布拟合其概率分布，从而估算X%对应的概率。
2. 蒙特卡洛模拟：就是你已经用到的方法，通过多次重复模拟，统计不同占比出现的频率，来近似概率分布。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stats_noob