二进制字符串具有稠密轨道的充分准则

最近有人问了我这么一个问题：映射
$$\mu : [0, 1) \rightarrow [0, 1)\ \hspace{105px}x \hspace{5px}\rightarrow \hspace{5px}2x \mod 1$$
是否存在某个点$\alpha$，它的轨道在$[0, 1)$中是稠密的？

当你把$x$表示成二进制字符串之后，解法就很清晰了：$\mu$其实就是把二进制串左移一位，丢掉小数点左边的那一位。举个例子，$\mu(0.1010) = 0.010$。

顺着这个思路，把所有有限二进制串拼接起来得到的数$\alpha = 0.01000110110000…$，它的轨道就在$[0, 1)$中是稠密的。想到这儿，我立刻联想到能不能做一个类似多项式逼近的推广——不过我自己没解出来，问我问题的人也没头绪。

我们知道Stone-Weierstrass定理告诉我们，多项式在$C[0, 1]$中是稠密的，但Muntz-Szasz定理指出，其实不需要所有的单项式${1, x, x^2, … ,x^n, …}$就能达到稠密性，只要取任意一个子集${1, x^{a_1}, x^{a_2}, … , x^{a_n}, …}$，满足$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{a_i} = \infty$就足够了。

同样，我之前构造的那个$\alpha$其实有很多冗余：比如对任意固定整数$N$，我可以只拼接长度大于$N$的二进制串，甚至更极端一点，只拼接长度是$N$的倍数的串，这样得到的点轨道依然是稠密的。但我没法再进一步缩小范围了。

这个问题描述得有点模糊，但我想找一种更具限制性的构造方式，类似Muntz-Szasz定理那样，来构造出在这个映射下轨道稠密的点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1026623