关于条件ab+bc+ca=3下循环不等式1/√(a+8b)+1/√(b+8c)+1/√(c+8a)≥1的证明思路问询

大家好，我最近遇到这么一个不等式证明题，是从一本书里看到的：

设$a,b,c\ge 0$，且满足$ab+bc+ca=3$，证明：
$$\frac{1}{\sqrt{a+8b}}+\frac{1}{\sqrt{b+8c}}+\frac{1}{\sqrt{c+8a}}\ge 1$$

这个循环不等式在$a=b=c=1$的时候取到等号，我本来想围绕这个等号成立点$(1,1,1)$来做一些估计，但试了几种方法都没成功，想跟大家请教下更好的思路：

• AM-GM估计失败：我先用AM-GM做了个转化，得到
  $$\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a+8b}}\ge 6\sum_{cyc}\frac{1}{a+8b+9}$$
  但后面尝试证明$\frac{1}{a+8b+9}+\frac{1}{b+8c+9}+\frac{1}{c+8a+9}\ge \frac{1}{6}$的时候，发现这个式子在$a=\dfrac{\sqrt{30}}{50},b=5\sqrt{30},c=0$时不成立，这条路走不通。

• Cauchy-Schwarz相关估计失败：我也试过用Cauchy-Schwarz，比如想证明$\sqrt{a+8b}+\sqrt{b+8c}+\sqrt{c+8a}\le 9$，但同样在$a=\dfrac{\sqrt{30}}{50},b=5\sqrt{30},c=0$这个点上不成立；甚至尝试用$(a+8b)(b+8c)(c+8a)\le 27$来推导，结果还是被同一个反例推翻了。

• Holder不等式尝试卡壳：后来我试了Holder不等式，写下了
  $$\left(\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a+8b}}\right)^{2\cdot\sum_{cyc}\left[(a+8b)(ma+nb+pc)}3\right]\ge \left[(m+n+p)(a+b+c)\right]^3$$
  但这里的系数$(m,n,p)$我实在找不到合适的取值，感觉这个估计方向可能不够精准。

现在我有点卡壳了，希望能得到大家的指点，有没有更好的思路或者方法能搞定这个证明？谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tran Ngoc Khuong Trang