求解γₙ、Iₙ、bₙ并判断正确选项的数学问题咨询

问题背景与定义 #

我遇到了这么一道数学题，先给出几个核心定义：

• 定义序列 $\gamma_n$（和调和数、对数相关）：
  $$\gamma_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n}-\log n$$
  其中 $n\in\mathbb{N}$，$\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}$ 是黄金分割比。
• 定义定积分 $I_n$：
  $$I_n=\int_{\phi}^{\phi2}\frac{\log^n(\log x+\gamma_n)}{\log^n(\log(\phi3-x)+\gamma_n)+\log^n(\log x+\gamma_n)}dx$$
• 定义无穷乘积的极限 $b_n$：
  $$b_n=\lim_{k\to\infty}\prod_{n=1}^{{k}\left(\frac{e}{2^n}-e{-2^n}}{e{2^n}+e{-2^n}}\right)\frac{1}{2^n}$$

需要判断以下四个选项的正确性：

1. $\lim_{n\to\infty}\frac{\gamma_n}{n}=0$
2. $\sum_{k=0}^{\infty}I_nk=1$
3. $e^4b_n=e4-2I_n$
4. $\log(1-b_n)+8I_n=0$

我的尝试与困惑 #

我觉得要验证这些选项，肯定得先搞清楚 $\gamma_n$、$I_n$ 和 $b_n$ 的性质或者闭式表达式，但目前卡在了好几个地方：

• 我不知道 $H_n - \log n$（也就是这里的 $\gamma_n$）有没有闭式解或者好用的近似；
• 看到 $I_n$ 这个积分直接头大，完全不知道怎么入手计算；
• 我把 $b_n$ 转化成了双曲正切的形式：
  $$b_n=\lim_{k\to\infty}\prod_{n=1}^{k}(\tanh e^{2n})^\frac{1}{2n}$$
  但转化之后还是不知道怎么算这个无穷乘积的极限。

有没有大佬能给点思路或者解法呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Blue Cat Blues