椭圆曲线中y=0时点满足3x²+A≠0的数学证明求助

大家好，我现在遇到一个椭圆曲线相关的问题，想请各位帮忙解答一下：

设$(x,y)$是椭圆曲线$E: y^2 = x^3 + Ax + B$上的点，证明当$y=0$时，$3x^2 + A \ne 0$。

我有一些图形上的直觉：因为椭圆曲线的导数是$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + A}{2y}$，当点是$(x,0)$时，曲线在该点的切线应该是平行于y轴的，这时候斜率的分子非零、分母为零才合理，但我没办法把这个直觉转化成严谨的数学证明。有没有大佬能给我一些思路或者完整的证明过程呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ARROW