具有特定简单结构的n×n矩阵的正定性判定及推广证明问询

问题描述 #

考虑一个 (n\times n) 矩阵 (A)，它的结构满足以下两个条件：

• 对角元 (a_{ii}) 是严格递增的正实数，即 (0 < a_{11} < a_{22} < \dots < a_{nn})；
• 非对角元满足 (a_{ij}=a_{ji}=\min(a_{ii},a_{jj}))，结合对角元严格递增的性质，等价于当 (i<j) 时 (a_{ij}=a_{ii})。

请问这个矩阵 (A) 是否一定是正定矩阵？

小维度情况验证 #

• 1×1矩阵：结论显然成立，因为唯一的元素是正实数。
• 2×2矩阵：利用西尔维斯特准则验证：
  1. 一阶顺序主子式 (a_{11} > 0)；
  2. 二阶顺序主子式（即行列式）为 (a_{11}a_{22}-a_{11}^2 = a_{11}(a_{22}-a_{11}))，由于 (a_{11}>0) 且 (a_{22}>a_{11})，该式结果为正。因此2×2矩阵是正定的。

核心疑问 #

能否将上述结论推广到任意维度的 (n×n) 矩阵？我需要一个严谨的证明或者论证思路，来确认这类矩阵对所有 (n) 都保持正定性。

实证参考结果 #

为了验证猜想，我生成了一百万份20×20的随机矩阵，其中对角元采用指数分布随机生成。结果显示所有生成的矩阵都是正定的。这让我更倾向于结论成立，但目前仍未找到正式的证明方法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PC1